Séries numériques
> alpha := n-> [à déf inir] : u:= n-> (-1)-n*alpha (n) :
> T:=3:
> sum(u(n) ,n=1 .. +inf inity);
> v:= n -> -alpha (2*n+1) + sum( alpha (2* (T*n+1)+2*k). ,k=O .. T- 1) :
> sum (v (n) ,n=O .. +inf inity) ;
53
Si on considère la série alternée L n ;;:, i < -;.,Vn , on peut observer que la valeur de
la somme reste identique quelle que soit la valeur de T (pour laquelle MAPLE
parvient à calculer la somme ... ).
Par contre, si on prend la série harmonique alternée L n �l (-� ) n et T = 2, les
premiers termes de la série réarrangée sont :
> v:= n - > -alpha (2*n+1) , seq( alpha (2* (T*n+1)+2*k) ,k=O .. T- 1) :
> seq(v(n) ,n�O .. 5) ;
11 111 11 1 11 1 11 1 111
-1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
' 2 ' 4 ' 3 ' 6 ' 8 ' 5 ' 10 ' 12 ' 7 ' 14 ' 16 ' 9 ' 18 ' 20 ' 11 ' 22 ' 24
et la somme de la série L n Vn réarrangée est -� ln(2).
En choisissant T = 3 on obtient pour somme - ln(2) + � ln(3) et en choisissant
T = 4, la somme est nulle.
En changeant l'ordre des termes d'une série convergente qui n'est pas absolument convergente, on change en général la valeur de la somme de cette
série. Le cas de la série harmonique alternée est intéressante à ce point :
on peut montrer que quel que soit le réel que l'on se fixe, il existe un réarrangement de ses termes pour lequel la somme de la série réarrangée est
égal à ce réel.
1.6 Exercices de synthèse
Exercice 1.15 Calcul de ((2) = L:�:i 1/n 2
1 - On considère le polynôme de IR[X) de degré n (n E N*) défini pa/
56>
n
P
_ "" (-l) k C 2 k+1 x n - k
n - L...;
2 n +l
·
k=O
a) En utilisant la formule de Moivre
<57> , montrer que pour tout 0 E)O, 7r /2[
on a:
n
sin((2n + 1)0) = I: c��!� (-l) k sin 2 k+l ( O )cos 2 < n - k) ( O ).
k=O
En déduire que : sin((2n + 1)0) = Pn (cotan 2 (0)) x sin 2 n +l ( O ).
{56)
.
0
On convient que ( -1) = 1.
<57> voir le Cours de première année p. 138.