Courbes et surfaces
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Il n'est pas toujours aussi aisé de déterminer les courbes de niveau d'une surface
cartésienne et le recours à des logiciels pour visualiser ces courbes de niveau est
très utile. La commande contourplot de la librairie plots du logiciel MAPLE
permet de visualiser les courbes de niveau d'une surface cartésienne. Le nombre
de courbes de niveau est déterminé par l'option contours. Par exemple, la
représentation des courbes de niveau de la surface cartésienne qui est le graphe
de la fonction f : (x, y) .... .. . 2500 + 2
1
0 y sin( 1�0 ) - ( � ) 2 + 1�0 s'obtient de la
manière suivante.
> with (plots) :
> f:= (x ,y) ->2500+y*sin (x/100) /20- (y/100) -2+x/100 :
> cont ourplot (f (x ,y) , x=-300 .. 300 , y=-500 .. 500 , contours=25) ;
-300 -200 -100
0
100
200
300
Lignes coordonnées
Une autre technique pour visualiser une surface cartésienne S consiste à tracer les lignes coordonnées qui sont les courbes obtenues par intersection de
la surface avec les plans d'équation x = xo ou d'équation y = Yo· Il existe
donc deUX lignes COOrdonnéeS r xo et r Yo passant par Un point de COOrdonnéeS
(xo, Yo , f(xo, Yo)) de la surface S.
- La première ligne coordonnée r Xo est, dans le plan d'équation X = Xo, la
courbe cartésienne d'équation z = f(xo, y). Cette courbe est le graphe de
la fonction y E lR .... .. . f ( xo, y) qui est la seconde fonction partielle de f
en (xo, Yo).
- La seconde ligne coordonnée r Y o est, dans le plan d'équation y = Yo , la
courbe cartésienne d'équation z = f(x, Yo). Il s'agit du graphe de la fonction
y E lR .... .. . f(x, Yo) qui est la première fonction partielle de f en (xo, Yo).
Reprenons l'exemple du paraboloïde hyperbolique qui est le graphe de l'application f : ( x, y) E IR 2 1--t x 2 - y 2 . La première ligne coordonnée r Xo qui passe
par le point (xo, yo , xg -y5) a pour équation z = xg - y 2 . Il s'agit d'une parabole
de centre (xo,O,xg) et de foyer (xo, O, xg - â) dans le plan x = xo. La seconde
ligne coordonnée r YO a pour équation z = x 2 - YÔ. Il s'agit d'une parabole de
centre (0, Yo , -y5 ) et de foyer (0, Yo, -y5 + â) dans le plan y= Yo· Le fait que
les lignes coordonnées de cette surface soient des paraboles explique la présence
du terme paraboloïde dans la dénomination de la surface.
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Il n'est pas toujours aussi aisé de déterminer les courbes de niveau d'une surface
cartésienne et le recours à des logiciels pour visualiser ces courbes de niveau est
très utile. La commande contourplot de la librairie plots du logiciel MAPLE
permet de visualiser les courbes de niveau d'une surface cartésienne. Le nombre
de courbes de niveau est déterminé par l'option contours. Par exemple, la
représentation des courbes de niveau de la surface cartésienne qui est le graphe
de la fonction f : (x, y) .... .. . 2500 + 2
1
0 y sin( 1�0 ) - ( � ) 2 + 1�0 s'obtient de la
manière suivante.
> with (plots) :
> f:= (x ,y) ->2500+y*sin (x/100) /20- (y/100) -2+x/100 :
> cont ourplot (f (x ,y) , x=-300 .. 300 , y=-500 .. 500 , contours=25) ;
-300 -200 -100
0
100
200
300
Lignes coordonnées
Une autre technique pour visualiser une surface cartésienne S consiste à tracer les lignes coordonnées qui sont les courbes obtenues par intersection de
la surface avec les plans d'équation x = xo ou d'équation y = Yo· Il existe
donc deUX lignes COOrdonnéeS r xo et r Yo passant par Un point de COOrdonnéeS
(xo, Yo , f(xo, Yo)) de la surface S.
- La première ligne coordonnée r Xo est, dans le plan d'équation X = Xo, la
courbe cartésienne d'équation z = f(xo, y). Cette courbe est le graphe de
la fonction y E lR .... .. . f ( xo, y) qui est la seconde fonction partielle de f
en (xo, Yo).
- La seconde ligne coordonnée r Y o est, dans le plan d'équation y = Yo , la
courbe cartésienne d'équation z = f(x, Yo). Il s'agit du graphe de la fonction
y E lR .... .. . f(x, Yo) qui est la première fonction partielle de f en (xo, Yo).
Reprenons l'exemple du paraboloïde hyperbolique qui est le graphe de l'application f : ( x, y) E IR 2 1--t x 2 - y 2 . La première ligne coordonnée r Xo qui passe
par le point (xo, yo , xg -y5) a pour équation z = xg - y 2 . Il s'agit d'une parabole
de centre (xo,O,xg) et de foyer (xo, O, xg - â) dans le plan x = xo. La seconde
ligne coordonnée r YO a pour équation z = x 2 - YÔ. Il s'agit d'une parabole de
centre (0, Yo , -y5 ) et de foyer (0, Yo, -y5 + â) dans le plan y= Yo· Le fait que
les lignes coordonnées de cette surface soient des paraboles explique la présence
du terme paraboloïde dans la dénomination de la surface.