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Surfaces cartésiennes dans l'espace
11.2.1 Courbes de niveau et lignes coordonnées
Considérons une surface cartésienne S de classe C 2 qui est le graphe d'une
application f définie sur un ouvert U de IR. 2 et à valeurs dans R Géométriquement, la surface S est obtenue en associant à tout point m E U de coordonnées
(x, y) le point ME IR. 3 de coordonnées (x, y, z ) où z = f(x, y). Pour représenter S il est commode de « couper » la surface par des plans « horizontaux » ou
« verticaux ». On définit ainsi les courbes de niveau et les lignes coordonnées
de la surface S.
Courbes de niveau
En « coupant » la surface S par des plans « horizontaux », autrement dit en
cherchant l'intersection de la surface S avec des plans d'équation z = zo , on
obtient des ensembles c1si appelés courbes de niveau de f. D'un point de vue
pratique, pour obtenir une visualisation de la surface par courbes de niveau,
on projette ces «courbes » dans le plan z = O. Il est alors nécessaire de fournir,
avec ce projeté, l'information de la cote z0 de chacune des courbes projetées.
Cette façon de procéder est celle qui est employée sur les cartes topographiques,
comme celles de l'Institut Géographique National crni . Ainsi, la surface peut être
« reconstruite » en trois dimensions à partir du projeté des courbes de niveau et
de la cote qui est mentionnée sur chaque courbe. Les logiciels de visualisation
graphique offrent une alternative consistant à utiliser un code de couleur pour
donner l'information sur la cote.
Considérons par exemple la surface cartésienne S qui est le graphe de l'application f : (x, y) E IR. 2 i--+ x 2 -y 2 . Cette surface est connue sous le nom de paraboloïde hyperbolique, voir l'étude des quadriques effectuée p. 517. La courbe de
niveau de S correspondant à l'intersection de S avec le plan d'équation z = zo
a pour équation
x 2 -y 2 = zo.
Pour z0 f:. 0, il s'agit d'une hyperbole dans le plan d'équation z = z0 dont
les foyers sont ( J2ZQ, 0, zo ) et (-J2Zo, 0, zo ) si zo > 0 et dont les foyers sont
(0, J21Zoï, zo ) et (0, -J21Zoï, zo ) si zo < O. Les courbes de niveau dans le plan
d'équation z = 0 sont deux droites d'équation y = x et y = -x. Le fait que
les courbes de niveau de S soient des hyperboles explique la présence du terme
hyperbolique dans la dénomination de la surface.
( l s) Rappelons que l'intersection de deux surfaces n'est pas toujours une courbe au sens
« usuel », voir à ce sujet la remarque de la p. 720. Dans la situation envisagée ici, l'intersection est définie de façon implicite : l'intersection de la surface z = f(x, y) et du plan
z = zo est l'ensemble {(x,y) E U; f(x,y) - zo = O}.
(lSJ Des exemples sont disponibles sur : www . ign . fr
Surfaces cartésiennes dans l'espace
11.2.1 Courbes de niveau et lignes coordonnées
Considérons une surface cartésienne S de classe C 2 qui est le graphe d'une
application f définie sur un ouvert U de IR. 2 et à valeurs dans R Géométriquement, la surface S est obtenue en associant à tout point m E U de coordonnées
(x, y) le point ME IR. 3 de coordonnées (x, y, z ) où z = f(x, y). Pour représenter S il est commode de « couper » la surface par des plans « horizontaux » ou
« verticaux ». On définit ainsi les courbes de niveau et les lignes coordonnées
de la surface S.
Courbes de niveau
En « coupant » la surface S par des plans « horizontaux », autrement dit en
cherchant l'intersection de la surface S avec des plans d'équation z = zo , on
obtient des ensembles c1si appelés courbes de niveau de f. D'un point de vue
pratique, pour obtenir une visualisation de la surface par courbes de niveau,
on projette ces «courbes » dans le plan z = O. Il est alors nécessaire de fournir,
avec ce projeté, l'information de la cote z0 de chacune des courbes projetées.
Cette façon de procéder est celle qui est employée sur les cartes topographiques,
comme celles de l'Institut Géographique National crni . Ainsi, la surface peut être
« reconstruite » en trois dimensions à partir du projeté des courbes de niveau et
de la cote qui est mentionnée sur chaque courbe. Les logiciels de visualisation
graphique offrent une alternative consistant à utiliser un code de couleur pour
donner l'information sur la cote.
Considérons par exemple la surface cartésienne S qui est le graphe de l'application f : (x, y) E IR. 2 i--+ x 2 -y 2 . Cette surface est connue sous le nom de paraboloïde hyperbolique, voir l'étude des quadriques effectuée p. 517. La courbe de
niveau de S correspondant à l'intersection de S avec le plan d'équation z = zo
a pour équation
x 2 -y 2 = zo.
Pour z0 f:. 0, il s'agit d'une hyperbole dans le plan d'équation z = z0 dont
les foyers sont ( J2ZQ, 0, zo ) et (-J2Zo, 0, zo ) si zo > 0 et dont les foyers sont
(0, J21Zoï, zo ) et (0, -J21Zoï, zo ) si zo < O. Les courbes de niveau dans le plan
d'équation z = 0 sont deux droites d'équation y = x et y = -x. Le fait que
les courbes de niveau de S soient des hyperboles explique la présence du terme
hyperbolique dans la dénomination de la surface.
( l s) Rappelons que l'intersection de deux surfaces n'est pas toujours une courbe au sens
« usuel », voir à ce sujet la remarque de la p. 720. Dans la situation envisagée ici, l'intersection est définie de façon implicite : l'intersection de la surface z = f(x, y) et du plan
z = zo est l'ensemble {(x,y) E U; f(x,y) - zo = O}.
(lSJ Des exemples sont disponibles sur : www . ign . fr