Courbes et surfaces
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Comme c'est le cas pour le cercle dans le plan, une sphère dans l'espace n'admet
pas de représentation cartésienne. Toutefois, la demi-sphère de centre (0, 0, 0) et
de rayon RE R'.f- située dans le demi-espace { (x, y, z ) E R 3 ; z � O} admet une
représentation cartésienne d'équation z = J R 2 - x 2 - y 2 et celle située dans
le demi-espace { ( x, y, z ) E R 3 ; z � 0} admet une représentation cartésienne
d'équation z = - J R 2 - x 2 -- y 2 .
L'ellipsoïde dans l'espace
Un paramétrage de l'ellipsoïde de centre ( a, b, c) et de longueur d'axes R 1 , R 2
et R3 (où R 1 , R 2 , R3 E R'.f_) est
(a+ R 1 cos(u) sin(v))
cp: (u, v) E [O, 271'] x [-�71', �7!'] t-t b + R 2 sin(u) sin(v) .
c + R3 cos(v)
Une équation implicite de cet ellipsoïde est
Comme pour la sphère, il n'existe pas d'équation cartésienne de l'ellipsoïde.
Le cylindre de révolution dans l'espace
Un paramétrage du cylindre de révolution <13> d'axe (O; k) et de rayon RE R'.fdans l'espace est
cp : (u, v) E [O, 271'] x R ,_. (Rcos(u), Rsin(u), v) .
Une équation implicite de ce cylindre dans l'espace est c14>
x2 + y 2
= R 2 .
11.2 Surfaces cartésiennes dans l'espace
Les courbes cartésiennes étant définies comme le graphe d'une fonction f de R
dans R, l'étude d'une telle courbe se réduit à l'étude de la fonction f. Nous n'insistons pas sur l'étude des courbes cartésiennes dans ce chapitre et renvoyons
au Cours de première année.
(1 3)
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Plus généralement, un paramétrage du cylindre d'axe (O; k) porté par la courbe r du plan
z = 0 paramétrée par 'Y: t E I >--> ('Y1 (t), 'Y2 (t)) est cp: (u, v ) E I x IR. >--+ ('Y1 (u) , 'Y2 (u) , v) .
<14> A ne pas confondre avec l'équation implicite d'un cercle dans le plan. Il est donc important
de préciser la dimension de l'espace vectoriel dans lequel on se place. Plus généralement,
un cylindre d'axe (O; k) porté par la courbe r du plan z = 0, d'équation implicite
f(x, y) = 0, est une surface de IR. 3 qui admet pour représentation implicite f(x, y) =O.