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Trois définitions de courbes et de surfaces
Le plan dans l'espace
Dans l'espace, un paramétrage du plan contenant le point de coordonnées
(c1 , c 2 , c 3 ) et de vecteurs directeurs (a1 , a 2 , a 3 ) et {b1 , b 2 , b 3 ) est
cp : (u, v) E JR 2 1--7 (a1u + b i v + c1 , a 2 u + b 2 v + c 2 , a 3 u + b 3 v + c 3 ).
Une équation implicite du plan dans JR 3 de vecteur normal (a:, /3, 1) et contenant
le point (xo, Yo, zo) est
ax + /Jy + 'Y z + o = 0
où o = -(axa + f3Yo + 1zo).
Selon les valeurs des coefficients a:, f3 ou /, on pourra obtenir une équation
cartésienne de ce plan sous l'une des formes suivantes
Z = ÀX + µy + V OU y = À1 X + V
1
OU X = 0
où >.. , µ, v, >.', v
' et o désignent des réels.
La droite dans l'espace
Dans l'espace, un paramétrage de la droite passant par le point de coordonnées
(c1 ,c 2 ,c 3 ) et de vecteur directeur (a1 ,a 2 ,a 3 ) est
1 Nous n'avons pas introduit les notions permettant de définir la représentation cartésienne et la représentation implicite d'une droite dans l'espace.
Insistons sur le fait que dans JR 3 une équation de la forme ax+f3y+1z+o = 0
correspond à une représentation d'un plan et non d'une droite. Une droite
dans l'espace peut toutefois être décrite comme l'intersection de deux plans.
La sphère dans l'espace
Un paramétrage de la sphère de centre (a, b, c) E JR 3 et de rayon RE IR+ dans
l'espace est
(a+ Rcos(u) sin(v))
cp : (u, v) E (0, 2n] x [-�7r, �n] 1--7 b + Rsin(u) sin(v) .
c + Rcos(v)
En raison de la périodicité des applications cosinus et sinus, d'autres paramétrages de la sphère sont obtenus en considérant des ensembles de définition de
la forme [a:, a:+ 2n] x ( /3 , f3 + n] ou (a:, a:+ n] x ( /3 , f3 + 2n] avec (a:, /3) E JR 2 .
Une équation implicite de la sphère de centre (a, b, c) E JR 3 et de rayon R E JR+
dans l'espace est
(x - a) 2 +(y - b) 2 + (z - c) 2 = R 2 .