Courbes et surfaces
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L'ellipse dans le plan
Étant donné deux réels strictement positifs R i et R 2 , la courbe paramétrée
dont un paramétrage est
est une ellipse dans le plan dont les axes sont les axes des cordonnées et qui
est centrée en (a, b). Lorsque R i = R 2 , on retrouve le paramétrage d'un cercle
dont le centre est (a, b).
Une équation implicite de cette ellipse est
Comme pour le cercle, on ne peut pas donner de représentation cartésienne
globale de l'ellipse.
L'hyperbole dans le plan
Étant donné deux réels strictement positifs R i et R 2 , l'arc paramétré
•
(11)
,
a pour image une hyperbole dans le plan. L'hyperbole est appelee hyperbole
équilatère lorsque R i = R 2 .
Une équation implicite de cette hyperbole est
Signalons que <12> dans un repère (O; u, v) dont les axes sont les asymptotes de
cette hyperbole, l'équation implicite de l'hyperbole s'écrit
XY =
Ri +R�
2 '
où X et Y désignent les coordonnées de ce nouveau repère.
Dans le repère (O; u, v) une représentation cartésienne de l'hyperbole est
y=
Rr +R�
2X
Comme pour l'ellipse, il n'est pas possible de donner une représentation cartésienne dans le repère initial.
(ll) D'où la terminologie de fonctions hyperboliques données à ces deux fonctions.
<12> Voir à ce sujet l'étude des coniques effectuée p. 515.