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Thois définitions de courbes et de surfaces
Représentation (a)
Représentation
(b)
Représentation
����
����
paramétrique
cartésienne
implicite
(a) Sous les hypothèses du théorème d'inversion locale (voir la section 11.5).
(b) Sous les hypothèses du théorème des fonctions implicites (voir la section 11.6).
11.1.5 Quelques courbes et surfaces de référence
La droite dans le plan
Dans le plan, un paramétrage de la droite passant par le point de coordonnées (b, d) et dirigée par le vecteur (a, c) est
cp : t E lR i---t ( at + b, et + d) .
Une équation implicite de la droite de vecteur directeur (-(3, a) passant par le
point (xo, Yo) est
o:x + (Jy + 'Y = 0,
où f.= -o:xo + f3yo. On pourra remarquer que si une même droite est décrite
à la fois de façon paramétrée et de façon implicite alors les réels a, b, e, d
d'une part et o:, (3, / d'autre part sont liés par les relations o: = -c, (3 = a
et /= ad - be.
L'équation cartésienne d'une droite est de l'une des formes suivantes
y = ÀX + µ OU X = 0
où À, µ et o désignent trois réels. La seconde forme correspond à une droite
parallèle à l'axe des ordonnées.
Le cercle dans le plan
Dans le plan, un paramétrage du cercle de centre (a, b) E JR 2 et de rayon RE iR+
est
cp : t E [0, 271'] i---t (Rcos(t) +a, Rsin(t) + b).
En raison de la périodicité des applications cosinus et sinus d'autres paramétrages du cercle sont obtenus en considérant à la place de [ü, 271'] un intervalle quelconque de longueur supérieur à 271'. Un autre paramétrage est obtenu en échangeant les rôles de sinus et cosinus car cos('ll' /2 - t) = sin(t) et
sin('ll' /2 - t) = cos(t).
Une équation implicite du cercle de centre (a, b) E JR 2 et de rayon RE JR+ dans
le plan est
(x - a) 2 +(y - b) 2 = R 2 .
On ne peut pas décrire le cercle par une équation cartésienne. Toutefois, chaque
demi-cercle « supérieur » et « inférieur » admet une représentation cartésienne
respectivement d'équation
y= b + ,/R2 - (x - a)2 et y= b - ,/R2 - (x - a)2 .
Thois définitions de courbes et de surfaces
Représentation (a)
Représentation
(b)
Représentation
����
����
paramétrique
cartésienne
implicite
(a) Sous les hypothèses du théorème d'inversion locale (voir la section 11.5).
(b) Sous les hypothèses du théorème des fonctions implicites (voir la section 11.6).
11.1.5 Quelques courbes et surfaces de référence
La droite dans le plan
Dans le plan, un paramétrage de la droite passant par le point de coordonnées (b, d) et dirigée par le vecteur (a, c) est
cp : t E lR i---t ( at + b, et + d) .
Une équation implicite de la droite de vecteur directeur (-(3, a) passant par le
point (xo, Yo) est
o:x + (Jy + 'Y = 0,
où f.= -o:xo + f3yo. On pourra remarquer que si une même droite est décrite
à la fois de façon paramétrée et de façon implicite alors les réels a, b, e, d
d'une part et o:, (3, / d'autre part sont liés par les relations o: = -c, (3 = a
et /= ad - be.
L'équation cartésienne d'une droite est de l'une des formes suivantes
y = ÀX + µ OU X = 0
où À, µ et o désignent trois réels. La seconde forme correspond à une droite
parallèle à l'axe des ordonnées.
Le cercle dans le plan
Dans le plan, un paramétrage du cercle de centre (a, b) E JR 2 et de rayon RE iR+
est
cp : t E [0, 271'] i---t (Rcos(t) +a, Rsin(t) + b).
En raison de la périodicité des applications cosinus et sinus d'autres paramétrages du cercle sont obtenus en considérant à la place de [ü, 271'] un intervalle quelconque de longueur supérieur à 271'. Un autre paramétrage est obtenu en échangeant les rôles de sinus et cosinus car cos('ll' /2 - t) = sin(t) et
sin('ll' /2 - t) = cos(t).
Une équation implicite du cercle de centre (a, b) E JR 2 et de rayon RE JR+ dans
le plan est
(x - a) 2 +(y - b) 2 = R 2 .
On ne peut pas décrire le cercle par une équation cartésienne. Toutefois, chaque
demi-cercle « supérieur » et « inférieur » admet une représentation cartésienne
respectivement d'équation
y= b + ,/R2 - (x - a)2 et y= b - ,/R2 - (x - a)2 .