Courbes et surfaces
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Un premier lien s'obtient en remarquant qu'une surface cartésienne définie
comme le graphe d'une application f : (x, y) E U 1--> f(x, y) E IR, où U est
un sous-ensemble de IR 2 , peut également être vue comme une surface paramétrée représentée dont un paramétrage est cp : ( u, v ) E U 1--> ( u, v, f ( u, v )) E JR 3 .
Le même constat est valable pour les courbes du plan : toute courbe cartésienne
définie comme le graphe d'une application f : x E I 1--> f(x) E IR, où I est un
intervalle de IR, peut être vue comme une courbe paramétrée dont un paramétrage est cp : t E I 1--> (t, f(t)) E IR 2 . Dans un tel cas, on parle de paramétrage
cartésien de la surface ou de la courbe.
Un autre lien est que toute courbe (resp. surface) cartésienne peut être vue
comme une courbe (resp. surface) implicite. En effet, une courbe cartésienne
définie comme le graphe d'une application f : x E I 1--> f(x) E IR, où I est
un intervalle de IR, correspond à la courbe implicite définie par F(x, y) = 0 où
F: (x, y) E I x J(I) 1--> y-f(x) E lR. De même, une surface cartésienne définie
comme le graphe d'une application f : (x, y) E U 1--> f (x, y) E IR, où U est un
sous-ensemble de JR 2 , correspond à la surface implicite définie par F(x, y, z ) = 0
où F: (x, y, z ) EU x f(U) 1--> z - f(x, y) E lR.
On peut visualiser ces liens entre les différentes représentations de surfaces (ou
de courbes) par le diagramme suivant <9> :
Représentation
Représentation
Représentation
.--� �-��- -- -t
paramétrique
cartésienne
implicite
En ce qui concerne plus spécifiquement les courbes, la situation que l'on sait le
mieux étudier est celle des courbes cartésiennes. En effet, l'analyse des fonctions
d'une variable réelle <1 0 > permet d'obtenir de nombreuses informations aussi bien
locales (concernant les tangentes, la concavité ou les asymptotes) que globales
(variations, maxima et minima) sur la courbe. Pour pouvoir étudier facilement
des courbes paramétrées ou implicites, il est donc intéressant de pouvoir les
décrire comme des courbes cartésiennes.
Nous verrons ultérieurement que sous certaines conditions les courbes et les
nappes paramétrées admettent aussi des représentations cartésiennes. L'outil
pour établir ce lien sera le théorème d'inversion locale. De même, nous introduirons le théorème des fonctions implicites dont l'interprétation géométrique
permet de décrire une courbe ou une surface implicite comme une courbe ou
une surface cartésienne. Schématiquement, nous mettrons en évidence les liens
suivants :
<9> Une flèche A -> B indique que si une surface est décrite par A alors on peut aussi la
décrire par B
(Io) Voir le Cours de premiè1·e année chap. 16.
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Un premier lien s'obtient en remarquant qu'une surface cartésienne définie
comme le graphe d'une application f : (x, y) E U 1--> f(x, y) E IR, où U est
un sous-ensemble de IR 2 , peut également être vue comme une surface paramétrée représentée dont un paramétrage est cp : ( u, v ) E U 1--> ( u, v, f ( u, v )) E JR 3 .
Le même constat est valable pour les courbes du plan : toute courbe cartésienne
définie comme le graphe d'une application f : x E I 1--> f(x) E IR, où I est un
intervalle de IR, peut être vue comme une courbe paramétrée dont un paramétrage est cp : t E I 1--> (t, f(t)) E IR 2 . Dans un tel cas, on parle de paramétrage
cartésien de la surface ou de la courbe.
Un autre lien est que toute courbe (resp. surface) cartésienne peut être vue
comme une courbe (resp. surface) implicite. En effet, une courbe cartésienne
définie comme le graphe d'une application f : x E I 1--> f(x) E IR, où I est
un intervalle de IR, correspond à la courbe implicite définie par F(x, y) = 0 où
F: (x, y) E I x J(I) 1--> y-f(x) E lR. De même, une surface cartésienne définie
comme le graphe d'une application f : (x, y) E U 1--> f (x, y) E IR, où U est un
sous-ensemble de JR 2 , correspond à la surface implicite définie par F(x, y, z ) = 0
où F: (x, y, z ) EU x f(U) 1--> z - f(x, y) E lR.
On peut visualiser ces liens entre les différentes représentations de surfaces (ou
de courbes) par le diagramme suivant <9> :
Représentation
Représentation
Représentation
.--� �-��- -- -t
paramétrique
cartésienne
implicite
En ce qui concerne plus spécifiquement les courbes, la situation que l'on sait le
mieux étudier est celle des courbes cartésiennes. En effet, l'analyse des fonctions
d'une variable réelle <1 0 > permet d'obtenir de nombreuses informations aussi bien
locales (concernant les tangentes, la concavité ou les asymptotes) que globales
(variations, maxima et minima) sur la courbe. Pour pouvoir étudier facilement
des courbes paramétrées ou implicites, il est donc intéressant de pouvoir les
décrire comme des courbes cartésiennes.
Nous verrons ultérieurement que sous certaines conditions les courbes et les
nappes paramétrées admettent aussi des représentations cartésiennes. L'outil
pour établir ce lien sera le théorème d'inversion locale. De même, nous introduirons le théorème des fonctions implicites dont l'interprétation géométrique
permet de décrire une courbe ou une surface implicite comme une courbe ou
une surface cartésienne. Schématiquement, nous mettrons en évidence les liens
suivants :
<9> Une flèche A -> B indique que si une surface est décrite par A alors on peut aussi la
décrire par B
(Io) Voir le Cours de premiè1·e année chap. 16.