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TI·ois définitions de courbes et de surfaces
2 . Il résulte de la définition 11.5, qu'une courbe cartésienne est un sous-ensemble
de JR. 2 et qu'une surface cartésienne est un sous-ensemble de JR. 3 . Ainsi que
nous l'avons indiqué au sujet des courbes et surfaces implicites, bien qu'une
généralisation de ces notions à des espaces de dimension supérieure existe, dans
ce cours nous ne nous intéresserons pas à la notion de courbes cartésiennes
dans JR. n avec n � 3 ni à la notion de surface dans JR.m avec m � 4 compte tenu
des prérequis nécessaires à une telle étude.
3. Puisqu'une courbe cartésienne correspond au graphe d'une fonction f de IR.
dans IR., l'étude d'une telle courbe se réduit à l'étude de la fonction f. Nous
n'insisterons donc pas sur l'étude des courbes cartésiennes dans ce chapitre. o
Exemples
1. L'application f : x E IR. r-+ x 2 E IR. définit une courbe cartésienne d'équation
y = x 2 . Cette courbe est une parabole.
2. Une «boîte à œufs » est une surface cartésienne dont l'équation est de la
forme z = a(sin(x/b) +sin(y/b)), a et b étant deux réels non nuls. Cette surface
est obtenue en translatant une sinusoïde le long d'une autre sinusoïde isométrique c7> , perpendiculairement à celle-ci. L'instruction MAPLE plot3d permet
de visualiser des surfaces cartésiennes.
> a:=1 : b:=1:
> plot3d (a* (sin (x/b) +sin(y/b) ) , x=O .. 30 ,y=O .. 30) ;
3. Nous avons vu au chap. 8 que la surface cartésienne d'équation z = x 2 - y 2
est un paraboloïde hyperbolique < s > .
11.1.4 Premiers liens entre les différentes représentations
Un des objectifs de ce chapitre est de montrer que des liens très étroits existent
entre les différentes représentations de courbes et de surfaces que nous avons
présentées (paramétrées, implicites et cartésiennes).
< 7 > C'est-à-dire qui est l'image de la première sinusoïde par une isométrie, voir la définition 9.9 p. 560.
(S) Voir en particulier la partie consacrée à la classification des quadriques, p. 515.
TI·ois définitions de courbes et de surfaces
2 . Il résulte de la définition 11.5, qu'une courbe cartésienne est un sous-ensemble
de JR. 2 et qu'une surface cartésienne est un sous-ensemble de JR. 3 . Ainsi que
nous l'avons indiqué au sujet des courbes et surfaces implicites, bien qu'une
généralisation de ces notions à des espaces de dimension supérieure existe, dans
ce cours nous ne nous intéresserons pas à la notion de courbes cartésiennes
dans JR. n avec n � 3 ni à la notion de surface dans JR.m avec m � 4 compte tenu
des prérequis nécessaires à une telle étude.
3. Puisqu'une courbe cartésienne correspond au graphe d'une fonction f de IR.
dans IR., l'étude d'une telle courbe se réduit à l'étude de la fonction f. Nous
n'insisterons donc pas sur l'étude des courbes cartésiennes dans ce chapitre. o
Exemples
1. L'application f : x E IR. r-+ x 2 E IR. définit une courbe cartésienne d'équation
y = x 2 . Cette courbe est une parabole.
2. Une «boîte à œufs » est une surface cartésienne dont l'équation est de la
forme z = a(sin(x/b) +sin(y/b)), a et b étant deux réels non nuls. Cette surface
est obtenue en translatant une sinusoïde le long d'une autre sinusoïde isométrique c7> , perpendiculairement à celle-ci. L'instruction MAPLE plot3d permet
de visualiser des surfaces cartésiennes.
> a:=1 : b:=1:
> plot3d (a* (sin (x/b) +sin(y/b) ) , x=O .. 30 ,y=O .. 30) ;
3. Nous avons vu au chap. 8 que la surface cartésienne d'équation z = x 2 - y 2
est un paraboloïde hyperbolique < s > .
11.1.4 Premiers liens entre les différentes représentations
Un des objectifs de ce chapitre est de montrer que des liens très étroits existent
entre les différentes représentations de courbes et de surfaces que nous avons
présentées (paramétrées, implicites et cartésiennes).
< 7 > C'est-à-dire qui est l'image de la première sinusoïde par une isométrie, voir la définition 9.9 p. 560.
(S) Voir en particulier la partie consacrée à la classification des quadriques, p. 515.