Courbes et surfaces
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Un des inconvénients majeurs de cette approche est que l'intersection de deux
surfaces n'est pas toujours une courbe au sens usuel du terme. On peut s'en
convaincre aisément en considérant l'intersection de deux plans : celle-ci peutêtre vide si les deux plans sont parallèles non confondus, le plan lui-même si les
deux plans sont confondus ou une droite dans le cas général. Pour lever cette
difficulté dans une tentative de définir les courbes implicites dans JR. 3 , il est
nécessaire d'ajouter une condition d'indépendance entre les fonctions F1 et F 2 .
La notion mathématique sous-jacente à ce type de condition est celle de « sousvariété ». Cette notion sort du cadre de ce cours et nous nous restreindrons <5>
aux seuls cas de la définition 11.4 : les courbes implicites dans le plan et les
surfaces implicites dans l'espace.
o
11.1.3 Courbes et surfaces cartésiennes
Un cas particulier de surface implicite (on pourrait faire la même remarque
pour les courbes implicites) est celui où l'une des coordonnées dans l'équation
implicite F(x, y, z) = 0 peut s'exprimer en fonction des deux autres coordonnées. Ainsi, si on a une équivalence du type
F(x, y, z) = 0 <==} z = f(x, y),
alors la surface implicite {(x, y,z) E U; F(x, y,z) = O} coïncide avec le
graphe <6> de l'application f.
DÉFINITION 11.5 (Courbe et surface cartésiennes)
X On appelle courbe cartésienne de classe c k ' k E NU{ OO}, le graphe d'une application définie sur un ensemble I de lR à valeurs dans lR qui est de classe C k
sur J.
·
X On appelle surface cartésienne de classe c k ' k E N u {OO}, le graphe d'une
application définie sur un ensemble U de IR 2 à valeurs dans lR qui est de
classe c k sur u.
Remarques
1. On parle de la courbe (resp. surface) cartésienne d'équation y= f(x) (resp.
z = f(x, y)) pour désigner la courbe (resp. surface) cartésienne qui est le graphe
de la fonction f de lR dans lR (resp. de JR 2 dans JR).
<5> Quelques aspects de la notion de sous-variété seront néanmoins abordés lors de la dernière
partie de ce chapitre.
(GJ On ne confondra pas le graphe d'une fonction f de JR 2 dans lR qui est défini comme
l'ensemble {(x, y, z) E JR 3 ; z = f(x, y)} avec la représentation graphique de la dite
fonction.
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Un des inconvénients majeurs de cette approche est que l'intersection de deux
surfaces n'est pas toujours une courbe au sens usuel du terme. On peut s'en
convaincre aisément en considérant l'intersection de deux plans : celle-ci peutêtre vide si les deux plans sont parallèles non confondus, le plan lui-même si les
deux plans sont confondus ou une droite dans le cas général. Pour lever cette
difficulté dans une tentative de définir les courbes implicites dans JR. 3 , il est
nécessaire d'ajouter une condition d'indépendance entre les fonctions F1 et F 2 .
La notion mathématique sous-jacente à ce type de condition est celle de « sousvariété ». Cette notion sort du cadre de ce cours et nous nous restreindrons <5>
aux seuls cas de la définition 11.4 : les courbes implicites dans le plan et les
surfaces implicites dans l'espace.
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11.1.3 Courbes et surfaces cartésiennes
Un cas particulier de surface implicite (on pourrait faire la même remarque
pour les courbes implicites) est celui où l'une des coordonnées dans l'équation
implicite F(x, y, z) = 0 peut s'exprimer en fonction des deux autres coordonnées. Ainsi, si on a une équivalence du type
F(x, y, z) = 0 <==} z = f(x, y),
alors la surface implicite {(x, y,z) E U; F(x, y,z) = O} coïncide avec le
graphe <6> de l'application f.
DÉFINITION 11.5 (Courbe et surface cartésiennes)
X On appelle courbe cartésienne de classe c k ' k E NU{ OO}, le graphe d'une application définie sur un ensemble I de lR à valeurs dans lR qui est de classe C k
sur J.
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X On appelle surface cartésienne de classe c k ' k E N u {OO}, le graphe d'une
application définie sur un ensemble U de IR 2 à valeurs dans lR qui est de
classe c k sur u.
Remarques
1. On parle de la courbe (resp. surface) cartésienne d'équation y= f(x) (resp.
z = f(x, y)) pour désigner la courbe (resp. surface) cartésienne qui est le graphe
de la fonction f de lR dans lR (resp. de JR 2 dans JR).
<5> Quelques aspects de la notion de sous-variété seront néanmoins abordés lors de la dernière
partie de ce chapitre.
(GJ On ne confondra pas le graphe d'une fonction f de JR 2 dans lR qui est défini comme
l'ensemble {(x, y, z) E JR 3 ; z = f(x, y)} avec la représentation graphique de la dite
fonction.