11.1.2 Ensembles implicites
Dans les chapitres précédents, nous avons rencontré des surfaces qui n'étaient
pas décrites de façon paramétrée. En particulier, l'étude des quadriques (voir
p. 515) a permis d'obtenir une famille de surfaces définies par l'annulation
d'une forme quadratique. Plus généralement, on peut définir une courbe de 1Rt 2
(resp. une surface de 1Rt 3 ) comme l'ensemble des points (x, y) E 1Rt 2 (resp. des
points (x, y, z) E 1Rt 3 ) liés par une condition du type F(x, y) = 0 (resp. du
type F(x, y, z) = 0). On parle de courbes (resp. de smfaces) définies par une
équation implicite.
DÉFINITION 11.4 (Courbe et surface implicites)
)< On appelle courbe implicite de classe C k , k E N U { oo}, un sous-ensemble
de 1Rt 2 de la forme
{(x, y) EU; F(x, y) = O}
où F est une application définie sur un ouvert U de 1Rt 2 , à valeurs dans lRt qui
est de classe c k sur u.
)< On appelle surface implicite de classe c k ' k E N u {OO} ' un sous-ensemble
de 1Rt 3 de la fo rme
{(x, y, z) E U ; F(x, y, z) = O}
où F' est une application définie sur un ouvert U de 1Rt 3 , à valeurs dans lRt qui
est de classe c k sur u.
Exemples
1. Dans le plan, l'équation x 2 + y 2 = 1 définit le cercle de centre (0, 0) et de
rayon 1 comme une courbe implicite de la forme {(x, y) E 1Rt 2 ; F(x, y) = O} où
F : (x, y) E 1Rt 2 1-+ x 2 + y 2 -1. On sera vigilant au fait que cette même équation
x 2 + y 2 = 1 définit dans l'espace un cylindre de hauteur infinie, la fonction
décrivant la surface de façon implicite étant F: (x, y, z) E JR 3 1-+ x 2 + y 2 - 1.
2. Dans le plan JR 2 , l'équation
où a et b sont deux réels fixés définit des courbes implicites appelées Ovales de
Cassini < 4 > . Pour représenter une telle courbe, on peut avoir recours à l'instruction implicitplot de la librairie plots de MAPLE.
< 4 > CASSINI, Jean-Dominique (1625, Nice - 1712, Paris) . Astronome, il fut le premier directeur
de !'Observatoire de Paris. Il découvre la grande tache rouge de Jupiter en 1665, et
détermine la même année la vitesse de rotation de Jupiter, Mars et Vénus. Il découvre
également quatre satellites de Saturne, ainsi que la division des anneaux de Saturne en
1675. En 1673, il fait la première mesure précise de la distance de la terre au soleil. Cassini
étudia les « Ovales de Cassini » en 1680 au cours d'études sur le mouvement de la terre
par rapport au soleil.
Dans les chapitres précédents, nous avons rencontré des surfaces qui n'étaient
pas décrites de façon paramétrée. En particulier, l'étude des quadriques (voir
p. 515) a permis d'obtenir une famille de surfaces définies par l'annulation
d'une forme quadratique. Plus généralement, on peut définir une courbe de 1Rt 2
(resp. une surface de 1Rt 3 ) comme l'ensemble des points (x, y) E 1Rt 2 (resp. des
points (x, y, z) E 1Rt 3 ) liés par une condition du type F(x, y) = 0 (resp. du
type F(x, y, z) = 0). On parle de courbes (resp. de smfaces) définies par une
équation implicite.
DÉFINITION 11.4 (Courbe et surface implicites)
)< On appelle courbe implicite de classe C k , k E N U { oo}, un sous-ensemble
de 1Rt 2 de la forme
{(x, y) EU; F(x, y) = O}
où F est une application définie sur un ouvert U de 1Rt 2 , à valeurs dans lRt qui
est de classe c k sur u.
)< On appelle surface implicite de classe c k ' k E N u {OO} ' un sous-ensemble
de 1Rt 3 de la fo rme
{(x, y, z) E U ; F(x, y, z) = O}
où F' est une application définie sur un ouvert U de 1Rt 3 , à valeurs dans lRt qui
est de classe c k sur u.
Exemples
1. Dans le plan, l'équation x 2 + y 2 = 1 définit le cercle de centre (0, 0) et de
rayon 1 comme une courbe implicite de la forme {(x, y) E 1Rt 2 ; F(x, y) = O} où
F : (x, y) E 1Rt 2 1-+ x 2 + y 2 -1. On sera vigilant au fait que cette même équation
x 2 + y 2 = 1 définit dans l'espace un cylindre de hauteur infinie, la fonction
décrivant la surface de façon implicite étant F: (x, y, z) E JR 3 1-+ x 2 + y 2 - 1.
2. Dans le plan JR 2 , l'équation
où a et b sont deux réels fixés définit des courbes implicites appelées Ovales de
Cassini < 4 > . Pour représenter une telle courbe, on peut avoir recours à l'instruction implicitplot de la librairie plots de MAPLE.
< 4 > CASSINI, Jean-Dominique (1625, Nice - 1712, Paris) . Astronome, il fut le premier directeur
de !'Observatoire de Paris. Il découvre la grande tache rouge de Jupiter en 1665, et
détermine la même année la vitesse de rotation de Jupiter, Mars et Vénus. Il découvre
également quatre satellites de Saturne, ainsi que la division des anneaux de Saturne en
1675. En 1673, il fait la première mesure précise de la distance de la terre au soleil. Cassini
étudia les « Ovales de Cassini » en 1680 au cours d'études sur le mouvement de la terre
par rapport au soleil.