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Trois définitions de courbes et de surfaces
2. La nappe paramétrée cp : ( u, v) E IR 2 t---+ ( ( u + v ) 2 , uv, u 2 + v 2 ) E IR 3 est
de classe C00• Montrons que la surface paramétrée S associée à cette nappe
paramétrée est incluse dans le plan P d'équation x - 2y - z = O. Pour cela,
considérons un point ( x, y, z) de S et montrons que ce point appartient au
plan P en établissant que ses coordonnées satisfont x - 2y - z = O. Puisque
(x, y, z) ES, il existe des paramètres (u, v) E IR 2 tels que
x=(u + v) 2 , y=uv, z = u 2 + v 2 .
On a x - 2y - z = ( u + v ) 2 - 2u v - u 2 - v 2 = 0 ce qui prouve que S c P.
Remarquons que l'on n'a pas égalité entre les deux surfaces. Par exemple le
point de coordonnées ( -1, 0, -1) est un point du plan P alors que ce n'est pas
un point de S car il n'existe pas de couple (u, v) E IR 2 solution du système
d'équations
(u + v) 2 = - l, uv=O et u 2 + v 2 = - l .
On peut visualiser la situation en ayant recours à MAPLE. On utilise ici le
fait que le plan d'équation x - 2y - z = 0 coïncide avec la nappe paramétrée
'ljJ : (x, y) E IR 2 1-+ (x, y, x - 2y).
> with(plots) :
> fig1 : =plot3d( [ (u+v) -2 ,u*v, u-2+v-2] ,u=-7 .. 7 ,v=-3 .. 3) :
> fig2:=plot3d ( [x ,y,x-2*y] ,x=-10 .. 100,y=-20 .. 20) :
> display ({fig1 ,fig2} , axes=boxed ,orientat i on= [-170 , 70] );