Courbes et surfaces
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où cp est une application de U dans IR n . On dit que la nappe paramétrée cp
est un paramétrage de la surface paramétrée S et que la surface paramétrée S
admet pour représentation paramétrique la nappe paramétrée cp.
De la même manière qu'il ne faut pas confondre courbe paramétrée et arc
paramétré, il ne faut pas confondre surface paramétrée et nappe paramétré : une nappe paramétrée cp E c 0 ( U, IR n ) est une application alors qu'une
surface paramétrée est un sous-ensemble de IR n qui correspond à l'image
cp(U) C IR n d'une nappe paramétrée.
Par abus de langage, on parlera de surface paramétrée de classe C k pour désigner une surface paramétrée admettant pour représentation paramétrique une
nappe paramétrée de classe C k .
Remarque En général, l'ensemble des paramètres U est un domaine de JR 2 ,
c'est-à-dire un ouvert connexe de IR 2 . Lorsque l'ensemble des paramètres comporte plusieurs composantes connexes U = U1 U U 2 avec U1 n U 2
= 0, on préférera parler de deux surfaces, l'une pour laquelle les paramètres sont dans U1 ,
l'autre pour laquelle les paramètres sont dans U 2 .
<>
On dit qu'une nappe paramétrée cp E C k (U, IR n ) est simple si l'application cp
est injective.
Exemples
1. Étant donné a, b, m et k quatre nombres réels, considérons la surface paramétrée par
(( a+ bcos(v))emu cos(u))
cp: (u, v ) E IR 2 i--- --+ ( a+ bcos(v))emu sin(u) .
( ka+ bsi n( v) ) emu
L'application cp est une nappe paramétrée de classe C00• En raison de leur
forme, ces surfaces sont appelées coquillages. Les outils informatiques, comme
MAPLE, se révèlent très utiles pour visualiser de telles surfaces. La commande
plot3d du logiciel MAPLE permet de représenter graphiquement des surfaces
paramétrées. La syntaxe est la suivante :
plot3d ( [phi1 (u ,v) , phi2 (u ,v) , phi3(u,v)] ,u=umin .. urnax , v=vmin .. vmax) ;
où phi 1 ( u, v) , phi2 ( u, v) , phi3 ( u, v) correspondent aux trois fonctions coordonnées de la nappe paramétrée cp et où U = [umin, umax) x [vmin, vmax) .
> a:=1: m:=1/10 : k:=3: b= :8/10 :
> plot3d( [ (a+b*cos (v) ) *exp (m*u) *cos (u) , (a+b*cos (v) ) *exp (m*u) *sin (u) ,
(k*a+b*sin(v) ) *exp (m*u) ] , u=-50 .. O,v=O .. 2*Pi ,numpoints=10000) :
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où cp est une application de U dans IR n . On dit que la nappe paramétrée cp
est un paramétrage de la surface paramétrée S et que la surface paramétrée S
admet pour représentation paramétrique la nappe paramétrée cp.
De la même manière qu'il ne faut pas confondre courbe paramétrée et arc
paramétré, il ne faut pas confondre surface paramétrée et nappe paramétré : une nappe paramétrée cp E c 0 ( U, IR n ) est une application alors qu'une
surface paramétrée est un sous-ensemble de IR n qui correspond à l'image
cp(U) C IR n d'une nappe paramétrée.
Par abus de langage, on parlera de surface paramétrée de classe C k pour désigner une surface paramétrée admettant pour représentation paramétrique une
nappe paramétrée de classe C k .
Remarque En général, l'ensemble des paramètres U est un domaine de JR 2 ,
c'est-à-dire un ouvert connexe de IR 2 . Lorsque l'ensemble des paramètres comporte plusieurs composantes connexes U = U1 U U 2 avec U1 n U 2
= 0, on préférera parler de deux surfaces, l'une pour laquelle les paramètres sont dans U1 ,
l'autre pour laquelle les paramètres sont dans U 2 .
<>
On dit qu'une nappe paramétrée cp E C k (U, IR n ) est simple si l'application cp
est injective.
Exemples
1. Étant donné a, b, m et k quatre nombres réels, considérons la surface paramétrée par
(( a+ bcos(v))emu cos(u))
cp: (u, v ) E IR 2 i--- --+ ( a+ bcos(v))emu sin(u) .
( ka+ bsi n( v) ) emu
L'application cp est une nappe paramétrée de classe C00• En raison de leur
forme, ces surfaces sont appelées coquillages. Les outils informatiques, comme
MAPLE, se révèlent très utiles pour visualiser de telles surfaces. La commande
plot3d du logiciel MAPLE permet de représenter graphiquement des surfaces
paramétrées. La syntaxe est la suivante :
plot3d ( [phi1 (u ,v) , phi2 (u ,v) , phi3(u,v)] ,u=umin .. urnax , v=vmin .. vmax) ;
où phi 1 ( u, v) , phi2 ( u, v) , phi3 ( u, v) correspondent aux trois fonctions coordonnées de la nappe paramétrée cp et où U = [umin, umax) x [vmin, vmax) .
> a:=1: m:=1/10 : k:=3: b= :8/10 :
> plot3d( [ (a+b*cos (v) ) *exp (m*u) *cos (u) , (a+b*cos (v) ) *exp (m*u) *sin (u) ,
(k*a+b*sin(v) ) *exp (m*u) ] , u=-50 .. O,v=O .. 2*Pi ,numpoints=10000) :