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Ttois définitions de courbes et de surfaces
LISSAJOUS, Jules (1822, Versailles - 1880, Plombières-les-Dijon).
Lissajous a été l'un des premiers physiciens français qui se soit
consacré à l'étude des phénomènes acoustiques. Professeur de
physique au Lycée Saint-Louis à Paris, il a développé une méthode qui permet d'étudier les sons à l'aide de l'œil, sans avoir
recours à l'oreille. Elle se concrétise par le tracé de courbes dont
les formes, obtenues par la réflexion successive sur des miroirs
attachés à deux diapasons placés à angle droit, sont liées aux
caractéristiques des sons. A la fin de sa carrière, Lissajous fut
recteur de l'académie de Chambéry puis de celle de Besançon.
Remarque On rencontre fréquemment des arcs paramétrés cp E c 0 (IR, !R n )
où les applications coordonnées cp1 , ... , 'P n sont des applications de IR dans IR
périodiques. Lorsque les applications cp1 , ... , 'P n possèdent un multiple de période commun, l'arc paramétré est lui-même périodique et on peut se contenter de l'étudier sur un intervalle de période. Par exemple, l'arc paramétré
cp : t E IR 1--) (sin( �t), cos( �t)) est périodique de période 127!' car cp1 est
périodique de période 67!' et cp 2 est périodique de période 47!'. Par contre, l'arc
paramétré cp : t E IR 1--) (sin(v'2t), cos(t)) n'est pas périodique bien que les
applications coordonnées le soient ( cp1 est périodique de période v'27l' et cp 2
est périodique de période 27l') ; cela est lié au fait que v'2 est irrationnel et ne
possède donc pas de multiple commun avec 2.
o
Une façon de définir la notion de surface consiste à généraliser la définition 11.1 :
une courbe paramétrée étant l'image d'un segment par une application à valeurs
dans !R n , une surface paramétrée peut être définie comme l'image d'un sousensemble de IR 2 par une application à valeurs dans !R n .
DÉFINITION 11.3 (Nappe paramétrée)
Pour n E N '
n � 2 et k E Nu {OO} ' on appelle nappe paramétrée de classe ck
de !R n toute application cp définie sur un sous-ensemble U de IR 2 et à valeurs
dans !Rn qui est de classe C k sur U. On note cp E C k (U, !R n ).
Considérons une nappe paramétrée cp : ( u, v) E U 1--) ( cp1 ( u, v), ... , 'P n ( u, v))
où U C IR 2 . Si on note M ( u, v) le point de !R n dont les coordonnées dans la
base canonique de !R n sont ( cp1 ( u, v), ... , 'P n ( u, v)) alors lorsque les paramètres
(u, v) parcourent U, le point M(u, v) décrit un sous-ensemble S de !R n , appelé
la surfa ce paramétrée de (ou associée à) cp. Une surface paramétrée est donc un
sous-ensemble de !R n défini par
S = {x E !R n ; 3(u, v) EU x = cp(u, v)}
Ttois définitions de courbes et de surfaces
LISSAJOUS, Jules (1822, Versailles - 1880, Plombières-les-Dijon).
Lissajous a été l'un des premiers physiciens français qui se soit
consacré à l'étude des phénomènes acoustiques. Professeur de
physique au Lycée Saint-Louis à Paris, il a développé une méthode qui permet d'étudier les sons à l'aide de l'œil, sans avoir
recours à l'oreille. Elle se concrétise par le tracé de courbes dont
les formes, obtenues par la réflexion successive sur des miroirs
attachés à deux diapasons placés à angle droit, sont liées aux
caractéristiques des sons. A la fin de sa carrière, Lissajous fut
recteur de l'académie de Chambéry puis de celle de Besançon.
Remarque On rencontre fréquemment des arcs paramétrés cp E c 0 (IR, !R n )
où les applications coordonnées cp1 , ... , 'P n sont des applications de IR dans IR
périodiques. Lorsque les applications cp1 , ... , 'P n possèdent un multiple de période commun, l'arc paramétré est lui-même périodique et on peut se contenter de l'étudier sur un intervalle de période. Par exemple, l'arc paramétré
cp : t E IR 1--) (sin( �t), cos( �t)) est périodique de période 127!' car cp1 est
périodique de période 67!' et cp 2 est périodique de période 47!'. Par contre, l'arc
paramétré cp : t E IR 1--) (sin(v'2t), cos(t)) n'est pas périodique bien que les
applications coordonnées le soient ( cp1 est périodique de période v'27l' et cp 2
est périodique de période 27l') ; cela est lié au fait que v'2 est irrationnel et ne
possède donc pas de multiple commun avec 2.
o
Une façon de définir la notion de surface consiste à généraliser la définition 11.1 :
une courbe paramétrée étant l'image d'un segment par une application à valeurs
dans !R n , une surface paramétrée peut être définie comme l'image d'un sousensemble de IR 2 par une application à valeurs dans !R n .
DÉFINITION 11.3 (Nappe paramétrée)
Pour n E N '
n � 2 et k E Nu {OO} ' on appelle nappe paramétrée de classe ck
de !R n toute application cp définie sur un sous-ensemble U de IR 2 et à valeurs
dans !Rn qui est de classe C k sur U. On note cp E C k (U, !R n ).
Considérons une nappe paramétrée cp : ( u, v) E U 1--) ( cp1 ( u, v), ... , 'P n ( u, v))
où U C IR 2 . Si on note M ( u, v) le point de !R n dont les coordonnées dans la
base canonique de !R n sont ( cp1 ( u, v), ... , 'P n ( u, v)) alors lorsque les paramètres
(u, v) parcourent U, le point M(u, v) décrit un sous-ensemble S de !R n , appelé
la surfa ce paramétrée de (ou associée à) cp. Une surface paramétrée est donc un
sous-ensemble de !R n défini par
S = {x E !R n ; 3(u, v) EU x = cp(u, v)}