Courbes et surfaces
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Par abus de langage, on parlera de courbe paramétrée de classe Ck pour désigner
une courbe paramétrée admettant pour représentation paramétrique un arc
paramétré de classe Ck.
DÉFINITION 11.2 On dit qu 'un arc paramétré <.p E c 0 (I, 1R. n ) est simple si
l'application <.p est injective.
Exemples
1. L'arc paramétré <.p : [O, 2rr[f--+ (cos(t), sin(t)) E JR. 2 est un arc simple. L'arc
paramétré 'ljJ : [0, 4rr] f--+ (cos(t),sin(t)) E JR. 2 n'est pas un arc simple car
îjJ(rr) = 'l/J(3rr). Ces deux arcs paramétrés ont pour image la même courbe
paramétrée : le cercle de centre (0, 0) et de rayon 1 dans le plan.
2. Une courbe de Lissajous < 3> est l'image de l'arc paramétré
<.p: t E lR. 1--- -- --t (a sin(t), bsin(17t + où Tl � 1. Ces courbes peuvent avoir des allures très variées, allant d'une ellipse
(lorsque 1J = 1) à une courbe dense dans le rectangle [-a, a] x [-b, b] (lorsque 1J
est nombre irrationnel) en passant par des motifs comme ceux de la figure 2.
Fig. 2 Courbes de Lissajous correspondant aux valeurs TJ = 7 /5
(à gauche) et T/ = 6 (à droite) avec a= 2, b = 1,

t E (-100, 100] .
On dit qu'une courbe paramétrée est simple lorsqu'elle admet pour représentation paramétrique un arc paramétré simple.
< 3> Cette famille de courbes correspond aux trajectoires d'un point du plan dont les coordonnées x et y ont un mouvement sinusoïdal. Cette famille fut étudiée par Nathaniel
Bowditch (mathématicien américain, 1773-1838) en 1815, puis plus en détail par Jules
Lissajous en 1857.