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Thois définitions de courbes et de surfaces
Fig. 1 Une courbe paramétrée.
DÉFINITION 11.1 (Arc paramétré)
Pour n E N* et k E N u {OO}' on appelle arc paramétré de classe ck de !R n
toute application cp définie sur un intervalle I de IR et à valeurs dans !R n qui
est de classe Ck sur I. On note cp E Ck(J, !R n ).
Remarque L'hypothèse que cp est de classe Ck sur un intervalle I de IR peut
sembler restrictive. Si l'application cp est de classe Ck sur un ensemble qui est
une réunion finie d'intervalles, on préfère considérer la restriction de cp à chacun
de ces intervalles séparément. Par ailleurs, l'étude des arcs paramétrés qui sont
continus sans être de classe C 1 conduit à des difficultés mathématiques importantes (Peano < 2 > a par exemple montré qu'il existe un arc paramétré continue
de IR 2 , défini sur l'intervalle [O, 1], dont l'image est le pavé [O, 1] x [O, 1]). On
se limitera donc principalement dans ce chapitre à l'étude des arcs paramétrés
qui sont de classe Ck avec k E N* U { oo}.
o
Considérons un arc paramétré cp : t E I f-+ ( cp1 ( t), ... , cp n ( t)). Si on note
M ( t) le point de !R n dont les coordonnées dans la base canonique de !R n sont
( cp1 ( t), décrit un sous-ensemble C de !R n , appelé courbe paramétrée de (ou associée à) cp.
On parle aussi de la trajectoire de cp ou du support de cp. Une courbe paramétrée
est donc un sous-ensemble de !R n défini par
C = {x E !R n ; 3t El x = cp(t)}
où cp E C 0 (I, !R n ) est un arc paramétré. On dit que l'arc paramétré cp est un
paramétrage de la courbe paramétrée C et que la courbe paramétrée C admet
pour représentation paramétrique l'arc paramétré cp.
1 Il ne faut pas confondre une courbe paramétrée et un arc paramétré. Selon les définitions précédentes, un arc paramétré cp E C 0 (I, 1R n ) est une
application alors qu'une courbe paramétrée est un sous-ensemble de !R n
correspondant à l'image cp(I) c !R n d'un arc paramétré.
< 2 > PEANO, Giuseppe (1858, Cuneo - 1932, Turin) . Mathématicien et philosophe italien qui
s'intéressa principalement aux fondements axiomatiques des mathématiques. La courbe
de Peano, d'une conception très astucieuse, est une courbe du plan, au sens où elle
est l'image du segment [O, 1] par une application continue, qui cependant remplit un
carré. Il s'agit d'une courbe fractale : bien que formée d'une simple « ligne », elle est de
« dimension 2 ».
Thois définitions de courbes et de surfaces
Fig. 1 Une courbe paramétrée.
DÉFINITION 11.1 (Arc paramétré)
Pour n E N* et k E N u {OO}' on appelle arc paramétré de classe ck de !R n
toute application cp définie sur un intervalle I de IR et à valeurs dans !R n qui
est de classe Ck sur I. On note cp E Ck(J, !R n ).
Remarque L'hypothèse que cp est de classe Ck sur un intervalle I de IR peut
sembler restrictive. Si l'application cp est de classe Ck sur un ensemble qui est
une réunion finie d'intervalles, on préfère considérer la restriction de cp à chacun
de ces intervalles séparément. Par ailleurs, l'étude des arcs paramétrés qui sont
continus sans être de classe C 1 conduit à des difficultés mathématiques importantes (Peano < 2 > a par exemple montré qu'il existe un arc paramétré continue
de IR 2 , défini sur l'intervalle [O, 1], dont l'image est le pavé [O, 1] x [O, 1]). On
se limitera donc principalement dans ce chapitre à l'étude des arcs paramétrés
qui sont de classe Ck avec k E N* U { oo}.
o
Considérons un arc paramétré cp : t E I f-+ ( cp1 ( t), ... , cp n ( t)). Si on note
M ( t) le point de !R n dont les coordonnées dans la base canonique de !R n sont
( cp1 ( t), décrit un sous-ensemble C de !R n , appelé courbe paramétrée de (ou associée à) cp.
On parle aussi de la trajectoire de cp ou du support de cp. Une courbe paramétrée
est donc un sous-ensemble de !R n défini par
C = {x E !R n ; 3t El x = cp(t)}
où cp E C 0 (I, !R n ) est un arc paramétré. On dit que l'arc paramétré cp est un
paramétrage de la courbe paramétrée C et que la courbe paramétrée C admet
pour représentation paramétrique l'arc paramétré cp.
1 Il ne faut pas confondre une courbe paramétrée et un arc paramétré. Selon les définitions précédentes, un arc paramétré cp E C 0 (I, 1R n ) est une
application alors qu'une courbe paramétrée est un sous-ensemble de !R n
correspondant à l'image cp(I) c !R n d'un arc paramétré.
< 2 > PEANO, Giuseppe (1858, Cuneo - 1932, Turin) . Mathématicien et philosophe italien qui
s'intéressa principalement aux fondements axiomatiques des mathématiques. La courbe
de Peano, d'une conception très astucieuse, est une courbe du plan, au sens où elle
est l'image du segment [O, 1] par une application continue, qui cependant remplit un
carré. Il s'agit d'une courbe fractale : bien que formée d'une simple « ligne », elle est de
« dimension 2 ».