CHAPITRE 11
Courbes et surfaces
Très souvent, la géométrie est apparentée aux dessins qu'elles peut engendrer < 1 > : tracés de droites, de courbes ou de surfaces. Ces notions apparaissent
dans des domaines variés : on parle de ski «parabolique », de molécule d'ADN
« hélicoïdale » ou de trajectoire « elliptique » des planètes. Ce chapitre a pour
but d'introduire les notions de courbe et de surface dans l'espace et de répondre
aux questions suivantes. Comment peut-on mathématiquement représenter une
courbe ou une surface ? Existe-t-il plusieurs façons de le faire ? Laquelle est la
meilleure ?
La première partie de ce chapitre est consacrée à préciser mathématiquement
les différentes représentations de courbes et de surfaces (représentations paramétrée, cartésienne et implicite) et à en étudier les propriétés. La seconde
partie du chapitre a pour objectif d'établir et d'explorer les liens existant entre
ces différentes descriptions d'une courbe ou d'une surface, en ayant recours au
théorème d'inversion locale et au théorème des fonctions implicites.
11.1 Trois définitions de courbes et de surfaces
On a coutume de concevoir les courbes dans le plan ou dans l'espace et les
surfaces dans l'espace mais du point de vue mathématique, ces notions de
courbes et de surfaces existent et se définissent de façon identique dans !R n
pour tout n E N* . Nous allons dans cette partie présenter trois façons de définir
une courbe ou une surface : de manière paramétréé, sous forme d'équation
cartésienne et de manière implicite.
11.1.1 Le règne des paramètres
La façon la plus intuitive de voir une courbe est de l'imaginer comme un « segment tordu » et c'est effectivement une manière de définir mathématiquement
une courbe, voir la figure 1.
(l) On peut citer à ce sujet le site mathcurve . corn de R. Ferréol ainsi que le numéro 45 de la
revue du Palais de la Découverte de décembre 1995 qui constituent de véritables albums
de courbes et surfaces mathématiques.
Courbes et surfaces
Très souvent, la géométrie est apparentée aux dessins qu'elles peut engendrer < 1 > : tracés de droites, de courbes ou de surfaces. Ces notions apparaissent
dans des domaines variés : on parle de ski «parabolique », de molécule d'ADN
« hélicoïdale » ou de trajectoire « elliptique » des planètes. Ce chapitre a pour
but d'introduire les notions de courbe et de surface dans l'espace et de répondre
aux questions suivantes. Comment peut-on mathématiquement représenter une
courbe ou une surface ? Existe-t-il plusieurs façons de le faire ? Laquelle est la
meilleure ?
La première partie de ce chapitre est consacrée à préciser mathématiquement
les différentes représentations de courbes et de surfaces (représentations paramétrée, cartésienne et implicite) et à en étudier les propriétés. La seconde
partie du chapitre a pour objectif d'établir et d'explorer les liens existant entre
ces différentes descriptions d'une courbe ou d'une surface, en ayant recours au
théorème d'inversion locale et au théorème des fonctions implicites.
11.1 Trois définitions de courbes et de surfaces
On a coutume de concevoir les courbes dans le plan ou dans l'espace et les
surfaces dans l'espace mais du point de vue mathématique, ces notions de
courbes et de surfaces existent et se définissent de façon identique dans !R n
pour tout n E N* . Nous allons dans cette partie présenter trois façons de définir
une courbe ou une surface : de manière paramétréé, sous forme d'équation
cartésienne et de manière implicite.
11.1.1 Le règne des paramètres
La façon la plus intuitive de voir une courbe est de l'imaginer comme un « segment tordu » et c'est effectivement une manière de définir mathématiquement
une courbe, voir la figure 1.
(l) On peut citer à ce sujet le site mathcurve . corn de R. Ferréol ainsi que le numéro 45 de la
revue du Palais de la Découverte de décembre 1995 qui constituent de véritables albums
de courbes et surfaces mathématiques.