on calcule la différentielle de dg, c'est-à-dire d 2 g comme la différentielle d'applications composées. On a d 2 gB 0 = dd/9 c a o > o d 2 fg ( B o ) o dgB 0 , c'est-à-dire
d 2 gB o = d Remarquons tout d'abord c 10 2 > que l'application

tout A E E* on a
dA : W E E� -A- 1 1l!A E E.
Calculons maintenant la différentielle d 2 fA0 • Cette différentielle seconde est la
différentielle de l'application F = df évaluée en Ao. Puisque l'application F a
été déterminée lors de la première question, on évalue, pour (H, K) E M n (R.) 2 ,
la quantité
(F(Ao + K) - F(Ao)) H = (dfA o+K - dfA 0 ) H
= (Ao + K)H + H(Ao + K) - A 0 H - HA 0
= HK +KH.
On en déduit que, l'application f est deux fois différentiable et d 2 fAo est l'application
d 2 fAo : (H, K) E M n (IR) X M n (IR) � HK + KH.
Ainsi, pour tout (H, K) E M n (IR) x M n (IR), on a
d 2 gB 0 (H, K) = -(dfA 0 ) - 1 (d 2 fA o odgB 0 (H)) dfA 0 (K)
= -(df A 0 ) - 1 ( d 2 f A 0 (dgB 0 (H), df Ao (K)))
= -(df A 0 ) - 1 (dgB 0 (H) dfA 0 (K) + df A0 (K) dgB 0 (H)) .
En particulier, pour tout H E M n (IR), on obtient
Ainsi en utilisant les relations déterminées auparavant pour les matrices df Ao (H)
et dgB 0 (H), on en déduit que le coefficient en position (1, 1) dans la matrice
d 2 gB 0 (H, H) vaut -hi 1 -h1 2 h 2 1 .
On en conclut que le développement demandé est
1
1 ( 2
)
2
Xn = 1 + 2hn - 2 h 11 + h1 2 h 2 1 + llHll c11(H),
où c11(H) correspond à la composante en position (1, 1) de la matrice c(H).
L'application c11 ainsi définie satisfait limH-+O c11 (H) =O.
c i
o 2) Pour un calcul analogue, on pourra consulter l'exemple de la p. 613.