Calcul différentiel
711
montre que f est différentiable sur M n (IR) et que dfx =Lx . Au point X= Ao
on obtient
dfA 0 (H) = AoH + HAo.
2 - Ainsi en notant < 99> H = ( h n h i 2 ) on a clf Ao (H) = (
2 h11 3 h12 ). On
h21 h22
3 h21 4 h22
peut en déduire l'expression de la matrice de df Ao dans la base canonique < 1 00 >
de M 2 (1R) :
Mat(dfA 0 , can) = (
0
0
0
2
�
�
0
� 3
4
�0 )
Le déterminant de cette matrice est non nul. Puisque f est de classe C00, on
peut appliquer le théorème d'inversion locale : il existe un ouvert U C M 2 (JR)
contenant Ao et un ouvert V c M 2 (JR) contenant Bo tels que la fonction f
soit un C 1 -difféomorphisme de U sur V. En particulier, la fonction f est une
surjection sur V :
'v'B E V 3X E UX 2 = f (X) = B.
Par définition d'un ensemble ouvert < 1 0 1 > cela implique directement le résultat.
3 -Not ons g l'application réciproque de f, définie grâce à la question précédente
sur la boule ouverte de centre Bo et de rayon a ; g est de classe C00 et la formule
de Taylor à l'ordre 2 s'écrit, pour tout BE M 2 (JR) telle que llB - Ba ll �a
où H = B - Bo et où € est une application de M 2 (JR) dans M 2 (JR) de limite
nulle en O. Évaluons les différents termes du membre de droite de cette relation.
- Puisque f(Ao) = Bo, on a g(Bo) = Ao. Le coefficient en position (1, 1) dans
la matrice Ao vaut 1.
- D'après la proposition 10.6 de la page 619 on a d(g o f)A o = dgB o o dfA 0 •
Puisque g est la réciproque de f, on a aussi d(g o f)A o = d(id)A o =id de sorte
que dgB 0 = ( df Ao ) - 1 . D'après l'expression matricielle de la différentielle df Ao ,
on en déduit l'expression matricielle de (dfA 0 ) - 1 :
< 99> Cette notation sera conservée au cours de cet exercice.
(1 00 )
•
•
La base canomque de M 2 (1R) est formée des matrices
En = G �), Ei2 = (� �) , E21 = (� �) et E22 = (� n.
(lOl) Voir la définition 7.7, p. 371. L'ensemble ouvert V contenant Bo , il contient aussi une
boule ouverte de centre Bo et de rayon a: E IR'.t- .
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montre que f est différentiable sur M n (IR) et que dfx =Lx . Au point X= Ao
on obtient
dfA 0 (H) = AoH + HAo.
2 - Ainsi en notant < 99> H = ( h n h i 2 ) on a clf Ao (H) = (
2 h11 3 h12 ). On
h21 h22
3 h21 4 h22
peut en déduire l'expression de la matrice de df Ao dans la base canonique < 1 00 >
de M 2 (1R) :
Mat(dfA 0 , can) = (
0
0
0
2
�
�
0
� 3
4
�0 )
Le déterminant de cette matrice est non nul. Puisque f est de classe C00, on
peut appliquer le théorème d'inversion locale : il existe un ouvert U C M 2 (JR)
contenant Ao et un ouvert V c M 2 (JR) contenant Bo tels que la fonction f
soit un C 1 -difféomorphisme de U sur V. En particulier, la fonction f est une
surjection sur V :
'v'B E V 3X E UX 2 = f (X) = B.
Par définition d'un ensemble ouvert < 1 0 1 > cela implique directement le résultat.
3 -Not ons g l'application réciproque de f, définie grâce à la question précédente
sur la boule ouverte de centre Bo et de rayon a ; g est de classe C00 et la formule
de Taylor à l'ordre 2 s'écrit, pour tout BE M 2 (JR) telle que llB - Ba ll �a
où H = B - Bo et où € est une application de M 2 (JR) dans M 2 (JR) de limite
nulle en O. Évaluons les différents termes du membre de droite de cette relation.
- Puisque f(Ao) = Bo, on a g(Bo) = Ao. Le coefficient en position (1, 1) dans
la matrice Ao vaut 1.
- D'après la proposition 10.6 de la page 619 on a d(g o f)A o = dgB o o dfA 0 •
Puisque g est la réciproque de f, on a aussi d(g o f)A o = d(id)A o =id de sorte
que dgB 0 = ( df Ao ) - 1 . D'après l'expression matricielle de la différentielle df Ao ,
on en déduit l'expression matricielle de (dfA 0 ) - 1 :
< 99> Cette notation sera conservée au cours de cet exercice.
(1 00 )
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La base canomque de M 2 (1R) est formée des matrices
En = G �), Ei2 = (� �) , E21 = (� �) et E22 = (� n.
(lOl) Voir la définition 7.7, p. 371. L'ensemble ouvert V contenant Bo , il contient aussi une
boule ouverte de centre Bo et de rayon a: E IR'.t- .