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Solutions des exercices
9 - Considérons deux applications harmoniques dans JR. 2 qui sont égales le long
d'un cercle O . On va montrer que ces deux applications sont égales dans tout le
disque D de frontière O. Notons f la différence de ces deux applications. L'application f est harmonique et nulle sur O. D'après les questions précédentes < 96> ,
la maximum d'une fonction harmonique sur un disque est obtenu sur la frontière du disque. On en déduit f ::;; 0 sur D. En considérant l'application -f,
qui est aussi harmonique et nulle sur C, on en déduit que -f ::;; 0 sur D. Cela
implique que f = 0 sur D.
SOLUTION DE L'EXERCICE 10.15
1 - Notons f l'application XE M 2 (JR.) � X 2 E M 2 (JR.). Afin de déterminer la
différentielle de l'application f en X E M 2 (JR.) on va < 97i d'abord former, pour
HE M 2 (JR.), la différence entre les termes f(X + H) et f(X) puis identifier les
« termes linéaires » en la variable H. En prenant garde au fait que la multiplication des matrices n'est pas une opération commutative, on obtient
f(X + H) - f(X) =(X + H) 2 - X 2 = XH + HX + H 2 .
Il est aisé de vérifier que l'application Lx : H E M 2 (JR.) � XH + HX est une
application linéaire. Puisque l'ensemble M 2 (JR.) est de dimension finie, cette
application linéaire est une application continue : c'est naturellement le « bon
candidat » pour être la différentielle de l'application f en X. Pour le prouver, il
faut montrer que le terme H 2 obtenu en effectuant la différence f (X+ H) - f(X)
est de la forme // Hllt:(H) et que l'application t: ainsi définie tend vers 0 en O.
Posons
si Hf 0,
si H =O.
La norme li· li utilisée ici peut être n'importe quelle norme sur l'ensemble M 2 (JR.)
car on sait qu'en dimension finie toutes les normes sont équivalentes. On peut
choisir une des normes de la proposition 7.5 p. 365. On notera que pour de
Il
1
. ' é .
(98)
te es normes on a a propnet su i vante
V(C, D) E M 2 (JR.) llCD ll ::;; llC /
I llD ll.
On en déduit que pour tout HE M 2 (JR.), on allt:(H) ll ::;; llHll ce qui prouve que
t:(H) tend vers 0 lorsque H tend vers O. Ainsi, la relation
f(X + H) - f(X) = Lx(H) + llH // t:(H)
< 9 6l On peut três aisément adapter les questions précédentes au cas d'un disque D quelconqu e
du plan.
< 97 l Voir l'exemple de la page 611 dans lequel cette méthode est appliquée pour obtenir la
différentielle d'une application.
< 98 l Voir l'exercice de la page 366 pour une démonstration de cette propriété.
Solutions des exercices
9 - Considérons deux applications harmoniques dans JR. 2 qui sont égales le long
d'un cercle O . On va montrer que ces deux applications sont égales dans tout le
disque D de frontière O. Notons f la différence de ces deux applications. L'application f est harmonique et nulle sur O. D'après les questions précédentes < 96> ,
la maximum d'une fonction harmonique sur un disque est obtenu sur la frontière du disque. On en déduit f ::;; 0 sur D. En considérant l'application -f,
qui est aussi harmonique et nulle sur C, on en déduit que -f ::;; 0 sur D. Cela
implique que f = 0 sur D.
SOLUTION DE L'EXERCICE 10.15
1 - Notons f l'application XE M 2 (JR.) � X 2 E M 2 (JR.). Afin de déterminer la
différentielle de l'application f en X E M 2 (JR.) on va < 97i d'abord former, pour
HE M 2 (JR.), la différence entre les termes f(X + H) et f(X) puis identifier les
« termes linéaires » en la variable H. En prenant garde au fait que la multiplication des matrices n'est pas une opération commutative, on obtient
f(X + H) - f(X) =(X + H) 2 - X 2 = XH + HX + H 2 .
Il est aisé de vérifier que l'application Lx : H E M 2 (JR.) � XH + HX est une
application linéaire. Puisque l'ensemble M 2 (JR.) est de dimension finie, cette
application linéaire est une application continue : c'est naturellement le « bon
candidat » pour être la différentielle de l'application f en X. Pour le prouver, il
faut montrer que le terme H 2 obtenu en effectuant la différence f (X+ H) - f(X)
est de la forme // Hllt:(H) et que l'application t: ainsi définie tend vers 0 en O.
Posons
si Hf 0,
si H =O.
La norme li· li utilisée ici peut être n'importe quelle norme sur l'ensemble M 2 (JR.)
car on sait qu'en dimension finie toutes les normes sont équivalentes. On peut
choisir une des normes de la proposition 7.5 p. 365. On notera que pour de
Il
1
. ' é .
(98)
te es normes on a a propnet su i vante
V(C, D) E M 2 (JR.) llCD ll ::;; llC /
I llD ll.
On en déduit que pour tout HE M 2 (JR.), on allt:(H) ll ::;; llHll ce qui prouve que
t:(H) tend vers 0 lorsque H tend vers O. Ainsi, la relation
f(X + H) - f(X) = Lx(H) + llH // t:(H)
< 9 6l On peut três aisément adapter les questions précédentes au cas d'un disque D quelconqu e
du plan.
< 97 l Voir l'exemple de la page 611 dans lequel cette méthode est appliquée pour obtenir la
différentielle d'une application.
< 98 l Voir l'exercice de la page 366 pour une démonstration de cette propriété.