Calcul différentiel
709
5 - L'application f n est continue sur un ensemble fermé et borné (le disque D)
· d < 9 0 > ' Il
.
b
. l'
.
D
on sait one qu e e attemt ses ornes, et en part1cu 1er son maximum, sur .
6 - La dérivée seconde de f n par rapport à la première variable au point (a n , b n )
est < 91> la dérivée seconde de la fonction x f-7 f n (x, b n ) au point a n . Puisque
cette application atteint son maximum en a n , on sait < 92> que la dérivée seconde
y est négative < 93> . On procède de la même manière pour la dérivée seconde par
rapport à la variable y.
7 - Puisque l'application f est harmonique, le laplacien de f n est égal à celui
de la fonction (x, y) f-7 �(x 2 + y 2 ), c'est-à-dire qu'il vaut D.f n = � · Au point
(a n , b n ) on a donc une contradiction puisque d'une part D.f n (a n , b n ) = � > 0
et d'autre part d'après la question précédente
On en déduit que le point (a n , b n ) n'est pas à l'intérieur du disque D mais sur
sa frontière : le cercle C.
8 - D'après la caractérisation des compacts de !R n , voir le théorème 7.7, p. 415,
un ensemble fermé et borné est un ensemble compact. Or le cercle C est un
ensemble borné (puisqu'il est contenu dans le disque D) et le cercle C est un
, (94)
,
ensemble ferme et par consequent le cercle C est un ensemble compact.
D'après la définition d'un ensemble compact < 95> , on en déduit que l'on peut
extraire des deux suites (a n ) n EN* et (b n ) n EN* deux sous-suites (a n i) j EN* et
(b n ;) j EN* qui convergent et telles que les limites respectives a et b sont aussi
dans C. Soit (x, y) ED; pour tout j EN * on a f n ;(a n i ' b n ;) ?: f n ;(x, y). En
passant à la limite lorsque j tend vers +oo, on obtient f(a, b) ?: f(x, y) ce qui
prouve que (a, b) est un maximum pour l'application f.
(9 0 ) •
Voir le théorème 9.2, p. 564.
(91) .
•
•
Voir la définition 10.6, p. 630.
( 92) .
•
Vo1r le Cours de prem1è1·e année, p. 736.
< 93> Attention, ceci n'est valable uniquement si la fonction fn est définie dans un voisinage
autour de (an,bn), ce qui est vrai si (an,bn) est à l'intérieur de disque D.
( 94)
( 95)
On peut démontrer que Je cercle C est un ensemble fermé en remarquant que
C = Dn(JR 2 \Int (D)). En effet, le disque D est un ensemble fermé, le disque ouvert Int (D)
est un ensemble ouvert donc son complémentaire IR 2 \ Int (D) est un ensemble fermé et
l'intersection de deux ensembles fermés est un ensemble fermé, voir la proposition 7.9,
p. 375.
Voir la définition 7.23, p. 413.
709
5 - L'application f n est continue sur un ensemble fermé et borné (le disque D)
· d < 9 0 > ' Il
.
b
. l'
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D
on sait one qu e e attemt ses ornes, et en part1cu 1er son maximum, sur .
6 - La dérivée seconde de f n par rapport à la première variable au point (a n , b n )
est < 91> la dérivée seconde de la fonction x f-7 f n (x, b n ) au point a n . Puisque
cette application atteint son maximum en a n , on sait < 92> que la dérivée seconde
y est négative < 93> . On procède de la même manière pour la dérivée seconde par
rapport à la variable y.
7 - Puisque l'application f est harmonique, le laplacien de f n est égal à celui
de la fonction (x, y) f-7 �(x 2 + y 2 ), c'est-à-dire qu'il vaut D.f n = � · Au point
(a n , b n ) on a donc une contradiction puisque d'une part D.f n (a n , b n ) = � > 0
et d'autre part d'après la question précédente
On en déduit que le point (a n , b n ) n'est pas à l'intérieur du disque D mais sur
sa frontière : le cercle C.
8 - D'après la caractérisation des compacts de !R n , voir le théorème 7.7, p. 415,
un ensemble fermé et borné est un ensemble compact. Or le cercle C est un
ensemble borné (puisqu'il est contenu dans le disque D) et le cercle C est un
, (94)
,
ensemble ferme et par consequent le cercle C est un ensemble compact.
D'après la définition d'un ensemble compact < 95> , on en déduit que l'on peut
extraire des deux suites (a n ) n EN* et (b n ) n EN* deux sous-suites (a n i) j EN* et
(b n ;) j EN* qui convergent et telles que les limites respectives a et b sont aussi
dans C. Soit (x, y) ED; pour tout j EN * on a f n ;(a n i ' b n ;) ?: f n ;(x, y). En
passant à la limite lorsque j tend vers +oo, on obtient f(a, b) ?: f(x, y) ce qui
prouve que (a, b) est un maximum pour l'application f.
(9 0 ) •
Voir le théorème 9.2, p. 564.
(91) .
•
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Voir la définition 10.6, p. 630.
( 92) .
•
Vo1r le Cours de prem1è1·e année, p. 736.
< 93> Attention, ceci n'est valable uniquement si la fonction fn est définie dans un voisinage
autour de (an,bn), ce qui est vrai si (an,bn) est à l'intérieur de disque D.
( 94)
( 95)
On peut démontrer que Je cercle C est un ensemble fermé en remarquant que
C = Dn(JR 2 \Int (D)). En effet, le disque D est un ensemble fermé, le disque ouvert Int (D)
est un ensemble ouvert donc son complémentaire IR 2 \ Int (D) est un ensemble fermé et
l'intersection de deux ensembles fermés est un ensemble fermé, voir la proposition 7.9,
p. 375.
Voir la définition 7.23, p. 413.