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Solutions des exercices
2 - Soit h une fonction de la forme h(x, y) = u( / x 2 + y 2 ). Exprimons le laplacien de la fonction h en terme de dérivées de la fonction u. En dérivant la
relation h(x, y) = u( / x 2 + y 2 ) par rapport à la variable x, on obtient pour
tout (x, y) E IR:
Ôh
X
Ôx
(x,y) =
u'( / x 2 + y 2 ).
/ x 2 +y 2
En dérivant à nouveau cette relation par rapport à la variable x, on obtient
ô 2 h ( ) -
1
' ( ·/ 2 2 )
x 2
' ( ·/ 2 2 )
ôx 2 x, y - / x 2 + y 2 u V X + y - (x 2 + y 2 ) 3 /2 u
V X + y
2
+ 2
x
2 u"( / x 2 +y 2 ).
X +y
De même, on évalue la dérivée seconde de h par rapport à la variable y. En
ajoutant les deux résultats, on a
!::. h(x, y)=
1
u'( / x 2 + y 2 ) + u"( / x 2 + y 2 ) .
/ x 2 +y 2
Ainsi, l'application h est harmonique si et seulement si l'application u est solution sur ]O, +oo[ de l'équation différentielle � u'(r) + u"(r) = O. D'après la
question précédente, la solution u de cette équation différentielle s'écrit sous la
forme u(r) = Aln(r) + B, A et B étant deux constantes réelles quelconques.
3 - On remarque que ((1 + t 2 )v'(t))' = 2tv'(t) + (1 + t 2 )v"(t). On peut donc
intégrer de la même manière que lors de la première question l'équation sur v.
On obtient :
3(C, D) E IR 2 ; v(t) = C arctan(t) + D .
4 - Soit k une fonction du type k(x, y) = v(y/x) où v est une application définie
sur IR 2 \ {(0, y), y E IR}. En dérivant la relation k(x, y) = v(y/x) par rapport
à la variable x et par rapport à la variable y on a
ôk
y '( Y )
-(x, y) = --v -
ÔX
x 2 X
et
En dérivant une seconde fois, on obtient
ô 2 k (x, y) = -
2y v'
(�) +
y 2
v"
(�)
ôx 2
x 3 x
x 4
x
ôk
1 / (Y)
ôy
(x, y) = ; v x .
et 8 2 k ( )
1 Il ( y )
ôy 2 x, y = x 2 v x
.
Ainsi pour tout (x, y) E IR 2 \ {(0, y) ; y E IR} on a la relation
!::. k(x, y) = - : 2 (2;v' ( ; ) + (1 + �:) v" ( ; ) ) .
Par conséquent l'application k est harmonique si et seulement si l'application v
est solution sur IR de l'équation différentielle 2tv' ( t) + (1 + t 2 )v" ( t) = O. D'après
la question précédente, la solution v de cette équation différentielle s'écrit sous
la forme v(t) = C arctan(t) + D où C et D sont deux constantes réelles quelconques.