Calcul différentiel
Les dérivées partielles secondes de f ( x1 , x 2 ) E] - 1, 1 [ 2 sont
éJ 2 j
(
)
_ _
X 2 ( 4 X1 2 + 8 X1 + 4 - X 2 2 )
!'.!
2 Xi, X 2 - 3
7 /2
UX 1
(x1 2 + 2 X1 + 1 + x 2 2 )
éJ 2 j
(
)
X 2 (3x 1 2 + 6 X1 + 3 - 2x 2 2 )
!'.! 2 X1 , X 2 = 3
7 /2
ux 2
(x1 2 + 2 x1 + 1 + x 2 2 )
8 2 f (xi, x 2 ) = 8 2 f (xi , x 2 ) = 3
(x1 +1) (x 1 2 + 2 x1 +1 - 4 x 2 2 )
ÔX1X 2
ÔX 2 X1
(x1 2 + 2 X1 + 1 + x 2 2 ) 7 12
On en déduit que la matrice hessienne de f en (0, 0) est :
H1 (0, 0) = (� �) .
La formule de Taylor à l'ordre 2 au voisinage de (0, 0) pour f s'écrit
f(h1 , h 2 ) = f(O, 0) + J 1 (0, 0) (h 1 h 2 ) + � (��) H1 (0, 0) (h 1 h 2 )
+ O(o,o)(hf + h�)
SOLUTION DE L'EXERCICE 10.13
707
La matrice jacobienne de f en (x1 , x 2 ) E IR 2 vaut J 1 (xi , x 2 ) = (2x1 3x�) et
s'annule uniquement pour x1 = x 2 = O. L'origine est le seul point critique
pour f sur IR 2 . En ce point, la hessienne vaut H1 (0, 0) = ( � �) et admet une
valeur propre nulle : on ne peut pas conclure grâce au corollaire 10.3.
Néanmoins, on observe que pour tout ô E IR on a f (0, ô) = ô3 et que cette
quantité est tantôt positive, tantôt négative selon le signe de ô : (0, 0) ne peut
pas être un extremum.
SOLUTION DE L'EXERCICE 10.14
1 - Une application u E C 2 (]0, +oo[, IR) est une solution de l'équation différentielle (31) si et seulement si (ru'(r))' = 0 pour tout r E]O, +oo[. Puisque la
dérivée de la fonction r � ru'(r) est nulle et que l'ensemble ]O, +oo[ est un
intervalle, on obtient dans un premier temps que la fonction r � ru'(r) est
constante :
3A E IR\tr E]O, +oo[ ru ' (r) =A.
On en déduit ensuite que
3(A, B) E IR 2
; \fr E]O, +oo[ u(r) = Aln(r) + B.
Les dérivées partielles secondes de f ( x1 , x 2 ) E] - 1, 1 [ 2 sont
éJ 2 j
(
)
_ _
X 2 ( 4 X1 2 + 8 X1 + 4 - X 2 2 )
!'.!
2 Xi, X 2 - 3
7 /2
UX 1
(x1 2 + 2 X1 + 1 + x 2 2 )
éJ 2 j
(
)
X 2 (3x 1 2 + 6 X1 + 3 - 2x 2 2 )
!'.! 2 X1 , X 2 = 3
7 /2
ux 2
(x1 2 + 2 x1 + 1 + x 2 2 )
8 2 f (xi, x 2 ) = 8 2 f (xi , x 2 ) = 3
(x1 +1) (x 1 2 + 2 x1 +1 - 4 x 2 2 )
ÔX1X 2
ÔX 2 X1
(x1 2 + 2 X1 + 1 + x 2 2 ) 7 12
On en déduit que la matrice hessienne de f en (0, 0) est :
H1 (0, 0) = (� �) .
La formule de Taylor à l'ordre 2 au voisinage de (0, 0) pour f s'écrit
f(h1 , h 2 ) = f(O, 0) + J 1 (0, 0) (h 1 h 2 ) + � (��) H1 (0, 0) (h 1 h 2 )
+ O(o,o)(hf + h�)
SOLUTION DE L'EXERCICE 10.13
707
La matrice jacobienne de f en (x1 , x 2 ) E IR 2 vaut J 1 (xi , x 2 ) = (2x1 3x�) et
s'annule uniquement pour x1 = x 2 = O. L'origine est le seul point critique
pour f sur IR 2 . En ce point, la hessienne vaut H1 (0, 0) = ( � �) et admet une
valeur propre nulle : on ne peut pas conclure grâce au corollaire 10.3.
Néanmoins, on observe que pour tout ô E IR on a f (0, ô) = ô3 et que cette
quantité est tantôt positive, tantôt négative selon le signe de ô : (0, 0) ne peut
pas être un extremum.
SOLUTION DE L'EXERCICE 10.14
1 - Une application u E C 2 (]0, +oo[, IR) est une solution de l'équation différentielle (31) si et seulement si (ru'(r))' = 0 pour tout r E]O, +oo[. Puisque la
dérivée de la fonction r � ru'(r) est nulle et que l'ensemble ]O, +oo[ est un
intervalle, on obtient dans un premier temps que la fonction r � ru'(r) est
constante :
3A E IR\tr E]O, +oo[ ru ' (r) =A.
On en déduit ensuite que
3(A, B) E IR 2
; \fr E]O, +oo[ u(r) = Aln(r) + B.