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Solutions des exercices
a 2 1
d'où â â
(0, 0) = 1.
Xi X 2
SOLUTION DE L'EXERCICE 10.11
l-L'application fn'est pas injective sur !R 3 car f(l,0,0) = (0, 0, 1) = f(l, 27r,0) .
L'application f : IR 3 ---> JR 3 ne peut donc pas être un difféomorphisme.
2 - Notons U = IR+ xJ0, 27r[x ] - � , H · Vérifions que l'application f est un
c i -difféomorphisme de U sur f (U).
- L'application f est une application de classe c i sur IR 3 (c'est le produit
d'applications de classe c i sur :JR 3 ), elle est donc aussi de classe c i sur u.
- Le jacobien de f a été calculé lors de l'exercice 10.7. On a montré que
Jf (xi , x 2 , x3) = -x i sin(x3); il ne s'annule pas pour (x i , x 2 , x3) E U.
- L'application f est injective sur U. En effet, supposons que f (x) = f(y) où
x = (x i ,x 2 ,x3) EU et y= (y i ,y 2 ,y3) EU; on a
{ x1 cos(x 2 ) sin(x3) = Y1 cos(y 2 ) sin(y3),
x1 sin(x 2 ) sin(x3) = Y1 sin(y 2 ) sin(y3),
X1 ços(x3) = Y1 cos(y3).
(34)
En effectuant la somme du carré de chacune de ces trois égalités, on obtient
l'égalité xf = yf. Les deux réels x i et Yi étant strictement positifs, on en déduit
x1 = Yl · La dernière équation du système (34) devient cos(x3) = cos(y3) mais
puisque X3 et y3 sont dans l'intervalle ]-7r /2, 7r /2[, on a nécessairement X3 = y 3.
En reportant les égalités x1 = y1 et X3 = y3 dans les deux premières équations
du système (34), on obtient cos(x 2 ) = cos(y 2 ) et sin(x 2 ) = sin(y 2 ). Les réels x 2
et Y 2 appartenant tous les deux à l'intervalle JO, 27r[, on a x 2 = y 2 . Finalement
on en conclut que x = y et donc que la fonction f est injective.
SOLUTION DE L'EXERCICE 10.12
L'application f de classe C00 sur ] - 1, 1[ 2 car c'est un quotient de deux applications de classe C00 sur ]-1, 1[ 2 dont la fonction au dénominateur ne s'annule
pas sur ] -1, 1[ 2 . Les dérivées partielles premières de f en (x1 ,x 2 ) E] - 1, 1[ 2 ,
obtenue en dérivant l'expression de f (x i , x 2 ) par rapport à l'une des variables,
en supposant l'autre fixée, sont :
âf (
) - �
x 2 (2 x1 +2)
ÔX1
X1, X 2 - 2 ( (x1 + 1) 2 +x 2 2 )
5/2
âf (
)
__
x1 2 + 2x i + 1-2x 2 2
â X1 , X 2 -
5/2
X1
(x1 2 +2x1 +1+x 2 2 )
On en déduit que la matrice jacobienne de f en (0, 0) est la matrice
Solutions des exercices
a 2 1
d'où â â
(0, 0) = 1.
Xi X 2
SOLUTION DE L'EXERCICE 10.11
l-L'application fn'est pas injective sur !R 3 car f(l,0,0) = (0, 0, 1) = f(l, 27r,0) .
L'application f : IR 3 ---> JR 3 ne peut donc pas être un difféomorphisme.
2 - Notons U = IR+ xJ0, 27r[x ] - � , H · Vérifions que l'application f est un
c i -difféomorphisme de U sur f (U).
- L'application f est une application de classe c i sur IR 3 (c'est le produit
d'applications de classe c i sur :JR 3 ), elle est donc aussi de classe c i sur u.
- Le jacobien de f a été calculé lors de l'exercice 10.7. On a montré que
Jf (xi , x 2 , x3) = -x i sin(x3); il ne s'annule pas pour (x i , x 2 , x3) E U.
- L'application f est injective sur U. En effet, supposons que f (x) = f(y) où
x = (x i ,x 2 ,x3) EU et y= (y i ,y 2 ,y3) EU; on a
{ x1 cos(x 2 ) sin(x3) = Y1 cos(y 2 ) sin(y3),
x1 sin(x 2 ) sin(x3) = Y1 sin(y 2 ) sin(y3),
X1 ços(x3) = Y1 cos(y3).
(34)
En effectuant la somme du carré de chacune de ces trois égalités, on obtient
l'égalité xf = yf. Les deux réels x i et Yi étant strictement positifs, on en déduit
x1 = Yl · La dernière équation du système (34) devient cos(x3) = cos(y3) mais
puisque X3 et y3 sont dans l'intervalle ]-7r /2, 7r /2[, on a nécessairement X3 = y 3.
En reportant les égalités x1 = y1 et X3 = y3 dans les deux premières équations
du système (34), on obtient cos(x 2 ) = cos(y 2 ) et sin(x 2 ) = sin(y 2 ). Les réels x 2
et Y 2 appartenant tous les deux à l'intervalle JO, 27r[, on a x 2 = y 2 . Finalement
on en conclut que x = y et donc que la fonction f est injective.
SOLUTION DE L'EXERCICE 10.12
L'application f de classe C00 sur ] - 1, 1[ 2 car c'est un quotient de deux applications de classe C00 sur ]-1, 1[ 2 dont la fonction au dénominateur ne s'annule
pas sur ] -1, 1[ 2 . Les dérivées partielles premières de f en (x1 ,x 2 ) E] - 1, 1[ 2 ,
obtenue en dérivant l'expression de f (x i , x 2 ) par rapport à l'une des variables,
en supposant l'autre fixée, sont :
âf (
) - �
x 2 (2 x1 +2)
ÔX1
X1, X 2 - 2 ( (x1 + 1) 2 +x 2 2 )
5/2
âf (
)
__
x1 2 + 2x i + 1-2x 2 2
â X1 , X 2 -
5/2
X1
(x1 2 +2x1 +1+x 2 2 )
On en déduit que la matrice jacobienne de f en (0, 0) est la matrice