Calcul différentiel
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3 - La fonction f n'est pas continue à l'origine car en restriction à la courbe
paramétrée de l'espace dont un paramétrage est r.p : t E IR f-t ( vt, vt, t) et
pour laquelle (0, 0, 0) = rp(O), la fonction f vaut f(r.p(t)) = 1/t et cette quantité
n'a pas de limite. Comme f n'est pas continue à l'origine, d'après la proposition 10.2, f n'est pas différentiable à l'origine.
SOLUTION DE L'EXERCICE 10.10
Notons U l'ouvert IR * x R.
1 - On obtient la première dérivée partielle de f en (x1 , x 2 ) E U en dérivant la
quantité xi sin (x 2 /x1 ) par rapport à la variable x1 en supposant x 2 fixée. On
obtient
8
8! (xi , x 2 ) = 2x1 sin ( x 2 ) - x 2 cos ( x 2 ) .
X1
X1
X1
Considérons à présent le cas où (x i , x 2 ) rJ. U, autrement dit un point de la
forme (0, x 2 ) avec x 2 E 1R. On a
1.
f(h,x 2 ) -f(O,x 2 ) _ 1 . h . ( x 2 ) - o
llll
h
- 1m Slll -
h - '
h-o
h-o
ce qui prouve que la dérivée partielle de f selon le premier vecteur de la base
canonique de IR 2 existe en (0, x 2 ) et vaut O. On en conclut que la première
dérivée partielle d'ordre 1 de f est :
lorsque x1 -:/:- 0
lorsque x1 = 0
De la même manière, on montre que la seconde dérivée partielle de f est l'application
8f
{ x1 cos ( x 2 ) lorsque x1 -:/:- 0
-
8
: (x1 , x 2 ) E IR 2 i--+
X1
X 2
0
l
0
orsque x1 =
2 - Évaluons la dérivée partielle seconde 8x 2 8X1
en (0, 0) ; on a
8 2 !
lim
jt(o, h) - jt(o, O) = lim o - o = o.
h-o
h
h-o
h
On en déduit que 8
8 2
J (0, 0) = O. De même, on a
X 2 X1
1.
if;(h, O) - if;(o, 0) 1. h cos(O/h) - O 1
nn
=n n
= ,
h-o
h
h-o
h