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Solutions des exercices
SOLUTION DE L'EXERCICE 10.8
Les dérivées partielles de l'application composée

en utilisant soit la formule (9) de la p. 637 soit la formule (10) de la p. 638.
Cette dernière s'écrit
-x i sin(x 2 ) sin(x3) x i cos(x 2 ) cos(x3))
xi cos(x 2 ) sin(x3) x i sin(x 2 ) cos(x3)
0
-x i sin(x3)
les dérivées partielles de l'application f ayant été calculées au cours des exercices 10.4 et 10.7. Après avoir effectué le produit matriciel du membre de droite,
on obtient par identification toutes les dérivées partielles de â
â

Xi
+sin(x 2 )sin(x3) /hg(f(xi ,x 2 ,x3)) +cos(x3) Ô3g(f(xi ,x 2 ,x3))
Ô
Ô

X 2
+x i cos(x 2 ) sin(x3) 8 2 g(f(xi , x 2 , x3))
Ô -
8
(x i ,x 2 ,x3) =x i cos(x 2 )cos(x3) 8ig(f(xi ,x 2 ,x3 ))
X3
+x i sin(x 2 ) cos(x3) â 2 g(f(xi , x 2 , x3)) - xi sin(x3) Ô3g(f(xi , x 2 , x3)).
SOLUTION DE L'EXERCICE 10.9
1 -On peut obtenir les dérivées partielles de f en (x i , x 2 , x3) E JR. 2 x JR. * en dérivant l'expression x i x 2 f x� successivement par rapport à chacune des 3 variables
en considérant à chaque fois les deux autres comme étant des constantes. On
obtient
On en déduit que 8
8! (1 , 1 , 1) = 1 , 8
8! (1 , 1 , 1) = 1 et 8
8! (1 , 1 , 1) = -2.
Xi
X 2
X3
2 - Les trois dérivées partielles de f sont des applications continues sur l'ouvert
U = JR. 2 x JR. * car il s'agit du quotient d'applications continues sur JR. 3 dont le
dénominateur ne s'annule pas sur U. D'après le théorème 10.2, on en déduit
que f est de classe c i sur U. Elle est donc différentiable sur U et en particulier
en (1 , 1 , 1). On déduit de la question précédente et de la proposition 10.9 que