Calcul différentiel
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On a f(Q) = f(Q+t) = - cos(l)X 2 , f(Q+t(l+X)) = sin(t(l+t))X-cos(l)X 2
et f((Q + t(l + X 2 )) = - cos(l + t)X 2 . On en déduit que pour tout t E IR * ,
J(Q +t)-f(Q) =0
t
)
f(Q + t(l +
t
X)) - f(Q) = � sin(t(l + t)) X,
f(Q + t(l + X 2 )) - f(Q) = � ( cos(l) - cos(l + t)) X 2 .
t
t
On a sin(t(l + t)) '"" sin(t) '"" t et cos(l + t) = cos(l) - tsin(l) + a 0 (t 2 ). On
0
0
en déduit que
lim � sin(t(l + t)) = 1 et
t-> 0 t
On obtient finalement
lim � ( cos(l) - cos(l + t)) = sin(l).
t-> 0 t
8i f(Q) = 0, 8 2 f(Q) =X et 83f(Q) = sin(l) X 2 .
SOLUTION DE L'EXERCICE 10. 7
D'après l'exercice lü.4, les dérivées partielles de f en (x i , x 2 , x3) E JR 3 sont
données par
8
8f (x1 , X 2 , X3) = (cos(x 2 ) sin(x3), Sin(x 2 ) Sin(X3), COS(X3)),
Xi
8
8f (xi, X 2 , X3) = (-X i sin(x 2 ) Sin(x3), X1 COS(X 2 ) sin(x3), 0),
X 2
8
8! (x1 , x 2 , x3) = (x i cos(x 2 ) cos(x3), x i sin(x 2 ) cos(x3), -x i sin(x3)).
X3
.
La matrice jacobienne de f en (x i , x 2 , x3) E JR 3 est donc
(cos( x 2 ) sin(x3) -x i sin(x 2 ) sin(x3) xi cos(x 2 ) cos(x3))
J 1(xi, x 2 , x3) = sin(x 2 ) sin(x3) x1 cos(x 2 ) sin(x3) xi sin(x 2 ) cos(x3)
cos(x3)
0
-x i sin(x3)
et le jacobien de f en (x i , x 2 , x3) E JR 3 qui est le déterminant de cette matrice
jacobienne vaut .J1 (xi ,x 2 ,x3) = -x1 sin(x3).