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Solutions des exercices
Le taux d'accroissement étant constant, on obtient
â
â f (x1 , x 2 , x3) = (cos(x 2 ) sin(x3),sin(x 2 ) sin(x3) ,cos(x3)).
X1
Les deux autres dérivées partielles s'obtiennent sur le même principe ; elles
valent
â
â f
(xi, x 2 , x3) = (-x1 sin(x 2 ) sin(x3) , x1 cos(x 2 ) sin(x3) , 0),
X 2
â
â f
(x1 , x 2 , x3) = (x1 cos(x 2 ) cos(x3), x1 sin(x 2 ) cos(x3) , -xi sin(x3) ).
X3
SOLUTION DE L'EXERCICE 10.5
2 2
1 - Pour calculer la première dérivée partielle de f: (x1, x 2 ) E JR� i-+ x 2
x
�
+
-�L
X1 X 2
on dérive l'expression de f (x1, x 2 ) par rapport à x1 en considérant que x 2 est
une constante. On obtient
Ôf (
)
_
4x 2 3 X1
- X1, X 2 -
2 ·
âx1
(x1 2 +x 2 2 )
Pour calculer la seconde dérivée partielle de f, on dérive l'expression de f (x1 , x 2 )
par rapport à x 2 en considérant que x1 est une constante. On obtient
4x!x�
(xr + x�) 2
X1 4 - X 2 4 - 4x1 2 X 2 2
(X1 2 + X 2 2 ) 2
2
4x?x3
2 - Pour calculer la première dérivée partielle de f : (x1 , x 2 ) E JR *
i-+
- 1
(x? +x2 ) 2 '
on dérive l'expression de f (x1, x 2 ) par rapport à X1 en considérant que x 2 est
une constante. On obtient
â f (xi,x 2 ) =
_
8x1 x 2 3 (x1 2 - : 2 2 )
âx1
(x1 2 + x 2 2 )
Pour calculer la seconde dérivée partielle de f, on dérive l'expression de f (x1 , x 2 )
par rapport à x 2 en considérant que x1 est une constante. On obtient
âf ( .
)
_
4x1 2 x 2 2 (3x1 2 - x 2 2 )
- 8
X1, X 2 -
3
X 2
(x1 2 + x 2 2 )
SOLUTION DE L'EXERCICE 10.6
D'après la définition 10.6, les dérivées partielles dépendent de la base de l'espace de départ considérée. Si on a choisi pour base de E = JR. 2 [X] la famille
B = {1, 1 + X, 1 + X 2 } alors les trois dérivées partielles de f en Q = 1 + X 2
sont les limites lorsque t tend vers 0 des taux d'accroissement suivants :
f(Q + t) - f(Q) f(Q + t(l +X)) - f(Q) et
f(Q + t(l + X 2 )) - f(Q)
t
t
t