Calcul différentiel
701
C'est l'expression souhaitée.
SOLUTION DE L'EXERCICE 10.3
1 - Remarquons que pour tout a= (a1 , a 2 ) E IR 2 et pour tout réel t, on a
f (a + tv1 ) = sin(a1 - t + a 2 + t) = sin(a1 + a 2 ) = f(a)
de sorte que le taux d'accroissement (f(a + tv1 ) - f(a))/t tend vers 0 lorsque
t tend vers O. On a donc dv, fa = O.
Pour calculer la dérivée de f dans la direction v 2 , calculons la limite du taux
d'accroissement de f en a dans la direction de v 2 . On a :
1. f(a + tv 2 ) - f(a) 1. sin(a1 + a 2 + 2t) - sin(a1 + a 2 )
1m
= 1m ---- -- -- -- -t-o
t
t-o
t
= 2 lim
sin(a1 + a 2 + 2t) - sin(a1 + a 2 )
t-o
2t
= 2 lim
sin(a1 + a 2 + s) - sin(a1 + a 2 ) .
s-o
s
Cette dernière limite s'interprète comme la limite du taux d'accroissement de la
fonction sinus en a1 + a 2 . Elle est donc égale à la dérivée de la fonction sinus en
a1 +a 2 , c'est-à-dire à cos(a1 +a 2 ). On en déduit que la dérivée de l'application f
dans la direction v 2 existe en tout point a E IR 2 et on a dv2 fa = 2cos(a1 +a 2 ).
2 - Soient a= (a1 ,a 2 ) E IR 2 et v = (v1 , v 2 ) E IR 2 \ {(0, 0)}. Étudions la limite
du taux d'accroissement de f en a dans la direction de v :
lim
f(a + tv) - f(a) = lim g(a1 + a 2 + t(v1 + v 2 )) - g(a1 + a 2 ) .
t-o
t
t-o
t
Lorsque v1 +v 2 = 0 le taux d'accroissement est nul. Supposons que v1 +v 2 -1 0;
on a
l . f(a + tv) - f(a) (
)
1 . g(a1 + a 2 + t(v1 + v 2 )) - g(a1 + a 2 )
1m
= v1 + v 2 nn .:... .. .:. .-----'----'-'----'"----'t-o
t
t-o
t(v1 + v 2 )
(
) 1. g(a1 +a 2 +s)-g(a1 +a 2 )
= V1 + V2 l m ----'-----"'--"'----'s_,O
S
Cette dernière limite s'interprète comme la limite du taux d'accroissement de la
fonction g en ai +a 2 . Elle est donc égale à la dérivée de la fonction g en ai +a 2 .
On en déduit que la dérivée de f dans la direction v en a= (a1 , a 2 ) E IR 2 existe
et vaut dvfa = (v1 + v 2 ) g'(a1 + a 2 ) ·
SOLUTION DE L'EXERCICE 10.4
Comme dans l'exemple de la p. 630, pour calculer la dérivée selon le premier
vecteur de la base canonique de JR 3 , on calcule la limite lorsque t tend vers 0
du taux d'accroissement