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Solutions des exercices
L'inégalité (33) est établie avec C = C'n.
2 - Soit q une forme quadratique sur E ; il existe une forme bilinéaire symétrique
B : E x E r-+ IR telle que
Va E E q(a) = B(a, a).
Considérons a E E et h E E. On a
q(a + h) = B(a + h, a + h) = B(a, a) + B(a, h) + B(h, a) + B(h, h)
= q(a) + 2B(a, h) + q(h).
L'application h E E r-+ 2B(a, h) est linéaire et d'après l'inégalité (33), on a
q(h) = llhllE e(h) où limh-+O t:(h) = O. Par conséquent la différentielle de la
forme quadratique q en a est l'application linéaire dqa : h E Er-+ 2B(a, h).
SOLUTION DE L'EXERCICE 10.2
1 - L'application trace qui à une matrice de Mn(IR) associe sa trace (i.e. la
somme de ses éléments diagonaux) est une application continue de Mn(IR)
(muni d'une norme quelconque) dans IR (muni de la norme définie par la valeur
absolue), voir p. 576 . L'ensemble U ={ME Mn(IR) ; Tr(M) =/: O} est donc un
ouvert de Mn(IR) puisque c 89 l c'est l'image réciproque de l'ensemble IR* qui est
ouvert dans IR par l'application continue Tr.
2 - L'application Ç est la composée de l'application trace Tr et de la fonction
g : x E IR* r-+ l/x ; schématiquement on a:
ç: M E u _ Tr --+ Tr( M) E IR* --2. .. .._ n)rv1) E IR*.
Comme g est une application réelle de la variable réelle, sa différentielle en un
point x E IR* est dgx : h r-+ g'(x) h, soit dgx : h r-+ -h/x 2 , voir la proposition 10.3. Par ailleurs, l'application trace étant linéaire, d'après la proposition 10.5 sa différentielle en tout point M E Mn(IR) est égale à elle-même et
vaut :
dTrM : H E Mn(lR) 1--- --+ Tr(H).
La proposition 10.6 indique que Ç est différentiable sur U et que pour tout
ME U on a dÇM = dgTr ( lvl )
o dfM , autrement dit pour tout HE Mn(lR) on a
TI· (H)
dÇM (H) = dgTr ( M ) (dfM (H)) = dg 'Tr ( M ) (TI · (H)) = - TI · (J11 ) 2 ·
On a donc dÇ : ME U 1--- --+ dÇM E .C(Mn(lR) , JR) où
TI· (H)
dÇM : H E Mn(lR) 1--- --+ - TI · (M) 2 E IR.
< 5 9> Voir la proposition 9.17 p. 561.