Calcul différentiel
10. 7 Solutions des exercices
SOLUTION DE L'EXERCICE 10.1
699
1 - Considérons une application bilinéaire B : E x E --+ R Pour (a, b) E E x E
et (h, k) E E x E, on obtient par bilinéarité de B :
B((a, b) + (h, k)) = B(a + h, b + k) = B(a, b) + B(a, k) + B(h, b) + B(h, k) .
Vérifions que la différentielle de l'application Ba u point (a, b) est donnée par
dB ( a,b ) : (h, k) E Ex E f---+ B(a, k) + B(h, b) ER
Cette application est linéaire car l'application bilinéaire B est linéaire par rapport à chacune de ses variables. Elle est par conséquent continue puisque E x E
est de dimension finie. Il reste à montrer que le terme B(h, k) est négligeable
devant ll(h, k) /IEx E = J/ l hlli + llk/li au voisinage de (0, 0). Pour cela, montrons qu'il existe une constante C > 0 telle que pour tout (h, k) E E2 on a
IB(h, k)I :::; Cllh/JE llkllE·
(33)
En utilisant l'inégalité ab :::; � (a2 + b2), on en déduira alors que
IB(h, k) I :::; � C ll(h, k) ll�x E et comme ll(h, k) ll�x E = O ( o,o ) ( ll (h, k) /JE x E)
on pourra conclure.
Considérons une base B = ( e1, ... , e n ) de E et notons C' le réel
C' =
max
IB(ei , e j)I.
(i,j)E{l, ... ,n} 2
Les vecteurs h et k se décomposent dans la base B sous la forme : h = L:� =l hi e i
et k = 2:: 7 = 1 kj e j· On peut choisir de munir Ede la norme 2 et on a dans ce
cas
n
1
llhllE = (2= lhil 2 )2 et
i=l
n
1
llkllE = (2:1kil 2 )2 .
i=l
En utilisant le fait que B est linéaire par rapport à chacune de ses variables,
on obtient :
n
n
n
n
IB(h, k) I = 1 LLhik jB( e i ,e j) I :::; c' I LLhik j l ·
i=l j=l
i=l j=l
En utilisant l'inégalité de Cauchy-Schwarz cas) , on en déduit que
(88)
nn
1
nn
1
n
1
n
1
IB(h, k)I :::; c'(l:l:h;) 2 (l:l:kJ) 2 = c' (l: n h;) 2 ( n l: kJ) 2
i=l j=l
i=l j=l
i=l
j=l
n
1
n
1
:::; C ' n (l:h;) 2 (l:kJ) 2 = C'nllhl l E ll kllE ·
i=l
j=l
Voir le théorème 8.5 p. 481 et les exemples de la p. 482.