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Exercices de synthèse
5 - Démontrer qu'il existe un point (a n , b n ), appartenant au disque fermé D,
en lequel l'application f n atteint son maximum.
6 - Démontrer que, si le point (a n , b n ) appartient à l'intérieur du disque D
alors c87>
7 - En calculant le laplacien de l'application f n , en déduire que le point (a n , b,,)
est situé sur le cercle C.
8 - Démontrer qu'il existe un point (a, b) du cercle C en lequel la fonction f
atteint son maximum sur D.
9 - En déduire que si deux applications sont harmoniques dans le plan IR 2 et
égales le long d�n cercle C du _plan alors ces deux applications sont égales dans
tout le disque D de frontière C.
Exercice 10.15
Sur l'espace vectoriel M 2 (IR) des matrices carrées d'ordre 2 à coefficients réels,
on considère la norme 11 · 11 définie pour A= (a i,j h� i,j � 2 par llAll = I:i � i,j� 2 l a i,j l ·
Étant donné les deux matrices
A 0 = G �) et Bo = G �) ,
on se propose de résoudre dans M 2 (IR) l'équation X 2 = B pour B proche de B0.
1 - Calculer la différentielle de l'application X E M 2 (IR) 1-+ X 2 E M 2 (IR) au
point Ao .
2 - Prouver qu'il existe a E IR+ et /3 E IR+ tels que si ll B - Boi l � a alors il
existe une unique matrice XE M 2 (IR) vérifiant llX- Aoll � /3 et X 2 =B .
3 - Calculer le développement limité à l'ordre 2 du coefficient x11 de X en
fonction de ceux de B, supposée proche de Bo.
(ST) Indication : on pourra utiliser le fait que si une application g E C 2 (IR, IR) atteint un
maximum en un point xo E IR alors on a g " (xo) ::;; O.
Exercices de synthèse
5 - Démontrer qu'il existe un point (a n , b n ), appartenant au disque fermé D,
en lequel l'application f n atteint son maximum.
6 - Démontrer que, si le point (a n , b n ) appartient à l'intérieur du disque D
alors c87>
7 - En calculant le laplacien de l'application f n , en déduire que le point (a n , b,,)
est situé sur le cercle C.
8 - Démontrer qu'il existe un point (a, b) du cercle C en lequel la fonction f
atteint son maximum sur D.
9 - En déduire que si deux applications sont harmoniques dans le plan IR 2 et
égales le long d�n cercle C du _plan alors ces deux applications sont égales dans
tout le disque D de frontière C.
Exercice 10.15
Sur l'espace vectoriel M 2 (IR) des matrices carrées d'ordre 2 à coefficients réels,
on considère la norme 11 · 11 définie pour A= (a i,j h� i,j � 2 par llAll = I:i � i,j� 2 l a i,j l ·
Étant donné les deux matrices
A 0 = G �) et Bo = G �) ,
on se propose de résoudre dans M 2 (IR) l'équation X 2 = B pour B proche de B0.
1 - Calculer la différentielle de l'application X E M 2 (IR) 1-+ X 2 E M 2 (IR) au
point Ao .
2 - Prouver qu'il existe a E IR+ et /3 E IR+ tels que si ll B - Boi l � a alors il
existe une unique matrice XE M 2 (IR) vérifiant llX- Aoll � /3 et X 2 =B .
3 - Calculer le développement limité à l'ordre 2 du coefficient x11 de X en
fonction de ceux de B, supposée proche de Bo.
(ST) Indication : on pourra utiliser le fait que si une application g E C 2 (IR, IR) atteint un
maximum en un point xo E IR alors on a g " (xo) ::;; O.