Calcul différentiel
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10.6 Exercices de synthèse
Exercice 10.14 Étude des fonctions harmoniques du plan
Soit f une application définie sur un ouvert U de IR 2 à valeurs dans IR et de
classe C 2 . Le laplacien de l'application f est, par définition, l'application 6.f
définie dans l'ouvert U par la relation suivante :
f) 2 f
f) 2 f
6.f(x, y) = 8x 2 (x, y) + f) y 2 (x, y).
Une telle application f est dite harmonique si son laplacien est nul sur U, i.e. si :
V(x, y) EU 6.f(x, y) =O.
PARTIE 1 - QUELQUES EXEMPLES DE FONCTIONS HARMONIQUES
1 - Trouver toutes les applications u définies sur ]O, +oo[ de classe C 2 qui sont
des solutions de l'équation différentielle <55>
Vr E]O, +oo[
1
- u' (r) + u"(r) =O.
r
(31)
2 - En utilisant la question précédente, déterminer les applications u définies
sur JO, +oo[ à va . leurs dans IR de classe C 2 telles que l'application h définie
sur IR 2 \ { (0, O)} par h(x, y) = u( J x 2 + y 2 ) soit harmonique (on pourra poser
r = J x 2 +y 2 ).
3 - Résoudre l'équation différentielle suivante <86> sur IR :
2t v' (t) + (1 + t 2 ) v"(t) =O.
(32)
4 - En utilisant la question précédente, déterminer les applications v de IR
dans IR de c lasse C 2 telles que l'application k, définie sur IR 2 \ { (0, y), y E IR}
par la relation k(x, y) = v (y/x) soit harmonique.
PARTIE 2 - LE PRINCIPE DU MAXIMUM
Soit f une application harmonique définie dans IR 2 . Soient D le disque fermé
de centre (0, 0) et de rayon r E IR+ et C le cercle de centre (0, 0) et de rayon r :
É tant donné un entier n E N*, on note f n de IR 2 dans IR définie par la relation
x 2 +y 2
f n (x, y) = f(x, y) + -n
<55) Indication : penser à la relation (ru'(r))' = u'(r) + ru"(r) .
<86) Indication : comme pour la première question, faire apparaître la dérivée d'un produit.