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Extrema d'une fonction réelle de plusieurs variables
La démonstration du théorème 10.10 permet d'obtenir des informations supplémentaires sur le comportement de f au voisinage du point critique (0, 0).
En effet, considérons deux vecteurs propres unitaires ei = (1 0) et e 2 = (0 1)
associés respectivement aux valeurs propres 2 et -2 de la matrice Ht(O, 0). La
démonstration du théorème 10.10 indique que l'application f atteint un minimum lorsqu'on la restreint à la droite engendrée par le vecteur e 1 et qu'elle
atteint un maximum lorsqu'on la restreint à la droite engendrée par le vecteur e 2 .
Fig. 10 Représentation des fonctions (x1, x2 ) f-> xf - x§ et
(x1, x2 ) f-> xf - x� .
3. Considérons l'application f : (x1 , x 2 ) E JR. 2 r-+ xf - x� qui est de classe C00
sur JR. 2 et possède un seul point critique : (0, 0). Remarquons que la hessienne
de f en (0, 0) est la matrice nulle : ses deux valeurs propres sont nulles et
le théorème 10.10 n'est pas applicable. Dans ce cas précis on peut facilement
observer que f n'admet pas d'extremum en (0, 0) : dans tout voisinage de (0, 0)
il y a des points pour lesquels f est strictement négative, par exemple les points
du type (0, 8) avec 8 E lR et d'autres pour lesquels f est strictement positive
(les points du type ( 8 ,0)) : l'application f n'admet pas d'extremum.
1 Exercice 10. 13 Trouver les points critiques de l'application f définie
sur JR. 2 par /(x1 , x 2 ) =x i+ x� . Cette application admet-elle un extremum ?
Extrema d'une fonction réelle de plusieurs variables
La démonstration du théorème 10.10 permet d'obtenir des informations supplémentaires sur le comportement de f au voisinage du point critique (0, 0).
En effet, considérons deux vecteurs propres unitaires ei = (1 0) et e 2 = (0 1)
associés respectivement aux valeurs propres 2 et -2 de la matrice Ht(O, 0). La
démonstration du théorème 10.10 indique que l'application f atteint un minimum lorsqu'on la restreint à la droite engendrée par le vecteur e 1 et qu'elle
atteint un maximum lorsqu'on la restreint à la droite engendrée par le vecteur e 2 .
Fig. 10 Représentation des fonctions (x1, x2 ) f-> xf - x§ et
(x1, x2 ) f-> xf - x� .
3. Considérons l'application f : (x1 , x 2 ) E JR. 2 r-+ xf - x� qui est de classe C00
sur JR. 2 et possède un seul point critique : (0, 0). Remarquons que la hessienne
de f en (0, 0) est la matrice nulle : ses deux valeurs propres sont nulles et
le théorème 10.10 n'est pas applicable. Dans ce cas précis on peut facilement
observer que f n'admet pas d'extremum en (0, 0) : dans tout voisinage de (0, 0)
il y a des points pour lesquels f est strictement négative, par exemple les points
du type (0, 8) avec 8 E lR et d'autres pour lesquels f est strictement positive
(les points du type ( 8 ,0)) : l'application f n'admet pas d'extremum.
1 Exercice 10. 13 Trouver les points critiques de l'application f définie
sur JR. 2 par /(x1 , x 2 ) =x i+ x� . Cette application admet-elle un extremum ?