Calcul différentiel
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COROLLAIRE 10.3 Soit f une application définie sur un ouvert U de IR!. n
à valeurs dans JR!. de classe C 2 et admettant Xo E U comme point critique.
Considérons les valeurs propres de la matrice H1 (x0) :
1. soit toutes ses valeurs propres sont strictement positives : xo est un minimum local de f ;
2. soit toutes ses valeurs propres sont strictement négatives : xo est un maximum local de f ;
3. soit il existe au moins une valeur propre strictement positive et une valeur
propre strictement négative : xo est un point col de f.
(83)
.
4. Dans les autres cas , on ne peut pas conclure directement.
Exemples
1 C 'd '
l' l' . (8 4 )
. ons1 erons app 1cat1on
f: (x 1 , x 2 ) E] - 2, 2[x] - 1, l[i--+ 1 +30xÎ + 20xf - 15x f - 12x � + 8x�
dont les dérivées partielles sont :
Il existe trois points critiques : (0, 0), (1, 0) et (-1, 0). Les matrices hessiennes
de f en ces trois points valent :
(
60
H1(0, 0) = O
et H1(-l, 0) = (�
On a vu lors de l'exemple de la p. 689 que le point (-1, 0) n'est ni un maximum
ni un minimum. On détermine la nature des deux autres points critiques à
l'aide du corollaire 10.3 : le point (0, 0) est un minimum et le point (1, 0) est
un point col. La représentation graphique de l'application f est donnée p. 690.
2. Considérons l'application f : (x1 , x 2 ) E IR!. 2 i--+ x� - x� qui est de classe C00
et possède un seul point critique : (0, 0). La hessienne de f en (0, 0) vaut :
D'après le théorème 10.10, le point (0, 0) est un point col et il n'y a donc pas
d'extrema pour l'application f.
( 83 ) Il s'agit des cas sont les cas où les valeurs propres de la hessienne sont toutes de même
signe et au moins une des valeurs propres est nulle.
(84) Voir l'exemple de la p. 689.