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Extrema d'une fonction réelle de plusieurs variables
Comme À1 > 0 et que limh-.o t:(h) = 0, pour h assez petit on a !.>.1 +t:(h) >O.
On en déduit que pour x = x0 + h dans un voisinage de xo on a f(x) Ç f(x0),
ce qui permet d'affirmer que x0 est un minimum local pour f.
!:'.'. Dans le cas où toutes les valeurs propres de la matrice hessienne sont négatives, un raisonnement analogue en considérant la plus grande valeur propre
fournit le résultat annoncé.
!:'.'. Supposons que l'on ait deux valeurs propres de signe opposé. Notons .X1 une
valeur propre strictement positive, .X 2 une valeur propre strictement négative et
désignons par el (resp. e 2 ) un vecteur propre unitaire associé à .X1 (resp . .X 2).
Considérons l'équation (29) avec h = ôtPe1 où ô E IR; on a
Comme À1 > 0 et comme lim0-.o c(ôtPe1) = 0, pour ô assez petit on a
!.>.1 + cWPe1) > 0 et par conséquent f(xo + ôtPe1) > f(xo). On en déduit
que x0 n'est pas un minimum local pour f.
Considérons à présent l'équation (29) avec h = ôtPe 2 où o E IR :
Comme À2 < 0 et comme lim0_,o t:(ôtPe 2 ) = 0, pour ô assez petit on a
�.À 2 + t:(ôtPe2) < 0 et par conséquent f(xo + ôtPe2) > f(xo). On en déduit
que x0 n'est pas un maximum local pour f.
On en conclut que dans le cas où la matrice hessienne Hr(x0) a des valeurs
propres de signe opposé, xo n'est ni un minimum ni un maximum.
D
Si la matrice hessienne de f admet une valeur propre nulle alors le théorème 10.10 ne permet pas de conclure. En effet, supposons que .X1 soit une
valeur propre nulle de Hr(xo) et désignons par ei un vecteur propre unitaire associé. En considérant l'équation (29) avec h = ôtPe1 où ô E IR, on
obtient :
f(xo + ôtPe1) - f (xo) = ô 2 t:(ôtPe1).
Il est impossible, avec cette démarche, de déterminer le signe de la différence
f (xo + ôtPe1) - f (xo) puisque la seule hypothèse limh_,o c(h) = 0 sur la
fonction t: ne permet pas de déterminer le signe de c5 2 t:(ôtPe1).
Plus généralement, sans supposer que les valeurs propres de la hessienne sont
non nulles, on a la disjonction de cas donnée dans le corollaire suivant.
Extrema d'une fonction réelle de plusieurs variables
Comme À1 > 0 et que limh-.o t:(h) = 0, pour h assez petit on a !.>.1 +t:(h) >O.
On en déduit que pour x = x0 + h dans un voisinage de xo on a f(x) Ç f(x0),
ce qui permet d'affirmer que x0 est un minimum local pour f.
!:'.'. Dans le cas où toutes les valeurs propres de la matrice hessienne sont négatives, un raisonnement analogue en considérant la plus grande valeur propre
fournit le résultat annoncé.
!:'.'. Supposons que l'on ait deux valeurs propres de signe opposé. Notons .X1 une
valeur propre strictement positive, .X 2 une valeur propre strictement négative et
désignons par el (resp. e 2 ) un vecteur propre unitaire associé à .X1 (resp . .X 2).
Considérons l'équation (29) avec h = ôtPe1 où ô E IR; on a
Comme À1 > 0 et comme lim0-.o c(ôtPe1) = 0, pour ô assez petit on a
!.>.1 + cWPe1) > 0 et par conséquent f(xo + ôtPe1) > f(xo). On en déduit
que x0 n'est pas un minimum local pour f.
Considérons à présent l'équation (29) avec h = ôtPe 2 où o E IR :
Comme À2 < 0 et comme lim0_,o t:(ôtPe 2 ) = 0, pour ô assez petit on a
�.À 2 + t:(ôtPe2) < 0 et par conséquent f(xo + ôtPe2) > f(xo). On en déduit
que x0 n'est pas un maximum local pour f.
On en conclut que dans le cas où la matrice hessienne Hr(x0) a des valeurs
propres de signe opposé, xo n'est ni un minimum ni un maximum.
D
Si la matrice hessienne de f admet une valeur propre nulle alors le théorème 10.10 ne permet pas de conclure. En effet, supposons que .X1 soit une
valeur propre nulle de Hr(xo) et désignons par ei un vecteur propre unitaire associé. En considérant l'équation (29) avec h = ôtPe1 où ô E IR, on
obtient :
f(xo + ôtPe1) - f (xo) = ô 2 t:(ôtPe1).
Il est impossible, avec cette démarche, de déterminer le signe de la différence
f (xo + ôtPe1) - f (xo) puisque la seule hypothèse limh_,o c(h) = 0 sur la
fonction t: ne permet pas de déterminer le signe de c5 2 t:(ôtPe1).
Plus généralement, sans supposer que les valeurs propres de la hessienne sont
non nulles, on a la disjonction de cas donnée dans le corollaire suivant.