Calcul différentiel
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THÉORÈME 10.10 Soit f une application définie sur un ouvert U de !R n à
valeurs dans IR, de classe C2 admettant x0 ·E U comme point critique. On
suppose que les valeurs propres de la matrice hessienne H1(xo) sont toutes
non nulles.
1. Si toutes ses valeurs propres sont strictement positives alors x0 est un
minimum local de f.
2. Si toutes ses valeurs propres sont strictement négatives alors x0 est un
maximum local de f.
3. Si certaines valeurs propres sont strictement positives et d 'autres sont
strictement négatives alors xo n'est ni un minimum ni un maximum (on
dit que xo est un point col ou point selle).
Démonstration Le point xo étant un point critique pour f, la formule de
Taylor à l'ordre 2 appliquée à la fonction f en x0 indique que pour tout h E !R n
tel que xo + h E U, on a
1
f(xo + h) - f(xo) = 2 h H1(xo) t h+ llhll 2 t:(h) ,
(29)
où t: est une fonction de !R n dans IR de limite nulle en zéro. La matrice Hf ( x0) est
une matrice de M n (IR) symétrique, elle est donc ' 8 1 ' diagonalisable et la matrice
de passage P est orthogonale. En désignant par À1 , ... ,Àn les n valeurs propres
de H1(xo), on a
H1(xo) = t PDP
où D est la matrice diagonale dont les éléments diagonaux sont À1, ... , Àn. Le
terme h H1(xo) t h dans l'égalité (29) s'écrit
h H1(xo) t h= \P t h) D P t h.
En désignant par ki, ... , kn les composantes du vecteur P t h, la relation (29)
devient, pour tout h E !R n tel que x0 + h E U,
1 n
f(xo + h) - f(xo) = 2 I: À i k f + llhll 2 t:(h).
t=l
(30)
� Intéressons-nous au cas où toutes les valeurs propres de la matrice hessienne
sont strictement positives et notons À1 la plus petite valeur propre. On a
n
n
i=l
i=l
La matrice P étant orthogonale, on a <82' ll P t hll 2 = llhll 2 et la relation (30)
utilisée avec la norme euclidienne sur !R n implique
f (xo + h) - f (xo) � ( �
1 + t:(h)) llhll�·
(8 1 ) Voir le théorème 8.10 p. 505.
cs2) Rappelons qu'une matrice orthogonale est la matrice d'une isométrie, et donc qu'elle
« conserve » la norme, voir p. 493 à 490.