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Extrema d'une fonction réelle de plusieurs variables
Parmi ces quatre points critiques, on sait qu'il y a au moins un point en lequel l'application A atteint son maximum. On peut calculer «à la main » les
valeurs de A en chacun de ces points (ou observer sur les quatre figures lequel des triangles a la plus grande aire) . Le maximum est atteint au point
(a, /3) = (27r/3, 47r/3). L'aire maximale d'un triangle inscrit dans le cercle vaut
A(27r /3, 47r /3) = 3v'3 / 4 et correspond aux points C = (1, 0), A = ( -1/2, v'3/2)
et B = (-1/2, -v'3 /2). Cette configuration est celle d'un triangle équilatéral.
Fig. 9 Les quatre triangles correspondants aux quatre points
critiques.
Dans cet exemple, nous avons réussi à trouver le maximum global grâce à
deux propriétés : d'une part il n'y avait qu'un petit nombre de points critiques
et d'autre part on était certain d'avoir un maximum global. On ne peut pas
toujours conclure ainsi. En général il est nécessaire d'étudier la fonction au
voisinage des points critiques pour savoir s'il s'agit d'un extremum.
10.5.2 Conditions suffi santes d'existence d'un extremum local
Dans le cas d'une application de classe C 2 , il est possible de déterminer à partir
de l'expression de la différentielle seconde si un point critique correspond à un
minimum, à un maximum ou si ce n'est pas un extremum.
On a vu dans le Cours de première année, p. 736, qu'une condition suffisante
pour qu'une application f. d'un ouvert I de IR à valeurs dans IR atteigne un
extremum en xo E I est que f'(xo) = 0 (i.e. que xo est un point critique de f)
et que f' change de signe en x 0 . Dans le cas d'applications deux fois dérivables,
cette dernière condition peut s'exprimer sous la forme : f" est de signe constant
au voisinage de xo. Nous allons chercher à caractériser les points critiques d'une
manière analogue dans le cas de fonctions de plusieurs variables réelles.
Remarquons d'abord que la notion de dérivée seconde pour une application d'un
ouvert U de !R n dans IR de classe C 2 se généralise par la notion de. différentielle
seconde en x 0 , autrement dit via une application bilinéaire de IR. n x IR. n dans 1R
pour laquelle être de signe constant est ambigu. La différentielle seconde peut
s'exprimer à l'aide de la matrice hessienne et compte tenu du théorème de
Schwarz, cette matrice est symétrique. Elle admet donc des valeurs propres qui
sont toutes réelles. La condition « la dérivée est de signe constant » servant à
caractériser les extrema dans le cas des fonctions d'une variable réelle devient
pour les fonctions de IR. n dans IR de classe C 2 une condition de signe sur les
valeurs propres de la matriCe hessienne.
Extrema d'une fonction réelle de plusieurs variables
Parmi ces quatre points critiques, on sait qu'il y a au moins un point en lequel l'application A atteint son maximum. On peut calculer «à la main » les
valeurs de A en chacun de ces points (ou observer sur les quatre figures lequel des triangles a la plus grande aire) . Le maximum est atteint au point
(a, /3) = (27r/3, 47r/3). L'aire maximale d'un triangle inscrit dans le cercle vaut
A(27r /3, 47r /3) = 3v'3 / 4 et correspond aux points C = (1, 0), A = ( -1/2, v'3/2)
et B = (-1/2, -v'3 /2). Cette configuration est celle d'un triangle équilatéral.
Fig. 9 Les quatre triangles correspondants aux quatre points
critiques.
Dans cet exemple, nous avons réussi à trouver le maximum global grâce à
deux propriétés : d'une part il n'y avait qu'un petit nombre de points critiques
et d'autre part on était certain d'avoir un maximum global. On ne peut pas
toujours conclure ainsi. En général il est nécessaire d'étudier la fonction au
voisinage des points critiques pour savoir s'il s'agit d'un extremum.
10.5.2 Conditions suffi santes d'existence d'un extremum local
Dans le cas d'une application de classe C 2 , il est possible de déterminer à partir
de l'expression de la différentielle seconde si un point critique correspond à un
minimum, à un maximum ou si ce n'est pas un extremum.
On a vu dans le Cours de première année, p. 736, qu'une condition suffisante
pour qu'une application f. d'un ouvert I de IR à valeurs dans IR atteigne un
extremum en xo E I est que f'(xo) = 0 (i.e. que xo est un point critique de f)
et que f' change de signe en x 0 . Dans le cas d'applications deux fois dérivables,
cette dernière condition peut s'exprimer sous la forme : f" est de signe constant
au voisinage de xo. Nous allons chercher à caractériser les points critiques d'une
manière analogue dans le cas de fonctions de plusieurs variables réelles.
Remarquons d'abord que la notion de dérivée seconde pour une application d'un
ouvert U de !R n dans IR de classe C 2 se généralise par la notion de. différentielle
seconde en x 0 , autrement dit via une application bilinéaire de IR. n x IR. n dans 1R
pour laquelle être de signe constant est ambigu. La différentielle seconde peut
s'exprimer à l'aide de la matrice hessienne et compte tenu du théorème de
Schwarz, cette matrice est symétrique. Elle admet donc des valeurs propres qui
sont toutes réelles. La condition « la dérivée est de signe constant » servant à
caractériser les extrema dans le cas des fonctions d'une variable réelle devient
pour les fonctions de IR. n dans IR de classe C 2 une condition de signe sur les
valeurs propres de la matriCe hessienne.