Calcul différentiel
L'aire A(a:,,6 ) du triangle ABC est donnée par
1
1
A(a:, ,6) = 2 ll CA /\ CBll = 2 l( cos a: - 1) sin,6 - (cos,6 - 1) sin a: I
2 . (
a:
) . (
,6
) . (
,6 - a:
)
= sm 2 sm 2 sm -
2
- .
Il s'agit de chercher le maximum de la fonction A sur l'ensemble
K = {(a:,,6 ) E JR. 2 ; 0 �a: � ,6 � 27r}.
691
Remarquons que A étant une fonction continue sur l'ensemble K qui est fermé
et borné dans JR. 2 , la fonction A admet cs o > un maximum global sur K. Le théorème 10.9 qui fournit un moyen d'obtenir d'éventuels maxima ne s'applique que
sur des ensembles ouverts. Il faut donc étudier séparément les maxima situés
sur la frontière de K puis ceux situés sur l'intérieur de K (qui est un ouvert).
Sur la frontière de K, on a soit a:= 0, soit a: = ,6, soit ,6 = 27f et dans tous les
cas on a A = 0, ce qui représente un minimum pour A. L'intérieur de K est
l'ouvert U = {(a:, ,6) E JR. 2 ; 0 < a: < ,6 < 27f }. Les points critiques sur U sont
obtenus en résolvant les équations
âA
âA
âa:
(a:, ,6) = 0 et â,6
(a:, ,6) =O.
Puisque ��(a:, ,6) = sin (�) sin (20: -,6) et ��(a:, ,6) = sin (�) sin (2,6 - a:),
on en déduit que (a:, ,6) est un point critique si et seulement si
0
et si il existe deux entiers k et k' tels que 2a: -,6 = k?r et 2,6 - a: = k' 7f. Ces
deux dernières-relations impliquent que a: et ,6 s'écrivent sous la forme
a: =
2k + k'
a =
2k' + k
7f.
3
7f et JJ ..
3
Pour assurer les conditions 0 < a: < ,6 < 27f il faut que les entiers k et k'
satisfassent 0 < 2k + k' , k < k' et 2k' + k > 6 ce qui impose pour valeurs de
(k, k') les valeurs suivantes :
(k, k') E {(-1, 3), (0, 1), (0, 2), (1, 2)}.
On en déduit qu'il existe exactement quatre points critiques pour l'application A; ils correspondent aux valeurs de (a:, ,6) obtenues à partir des couples
(k, k') précédents, i.e.
{ (
7f 57f
) (
7f 27f
) (
27f 47f
) (
47f 57f
)}
(a:,,6 ) E 3'3 ' 3'3 ' 3'3 ' 3'3 .
(80) Voir le théorème 9.2 p. 564.
L'aire A(a:,,6 ) du triangle ABC est donnée par
1
1
A(a:, ,6) = 2 ll CA /\ CBll = 2 l( cos a: - 1) sin,6 - (cos,6 - 1) sin a: I
2 . (
a:
) . (
,6
) . (
,6 - a:
)
= sm 2 sm 2 sm -
2
- .
Il s'agit de chercher le maximum de la fonction A sur l'ensemble
K = {(a:,,6 ) E JR. 2 ; 0 �a: � ,6 � 27r}.
691
Remarquons que A étant une fonction continue sur l'ensemble K qui est fermé
et borné dans JR. 2 , la fonction A admet cs o > un maximum global sur K. Le théorème 10.9 qui fournit un moyen d'obtenir d'éventuels maxima ne s'applique que
sur des ensembles ouverts. Il faut donc étudier séparément les maxima situés
sur la frontière de K puis ceux situés sur l'intérieur de K (qui est un ouvert).
Sur la frontière de K, on a soit a:= 0, soit a: = ,6, soit ,6 = 27f et dans tous les
cas on a A = 0, ce qui représente un minimum pour A. L'intérieur de K est
l'ouvert U = {(a:, ,6) E JR. 2 ; 0 < a: < ,6 < 27f }. Les points critiques sur U sont
obtenus en résolvant les équations
âA
âA
âa:
(a:, ,6) = 0 et â,6
(a:, ,6) =O.
Puisque ��(a:, ,6) = sin (�) sin (20: -,6) et ��(a:, ,6) = sin (�) sin (2,6 - a:),
on en déduit que (a:, ,6) est un point critique si et seulement si
0
et si il existe deux entiers k et k' tels que 2a: -,6 = k?r et 2,6 - a: = k' 7f. Ces
deux dernières-relations impliquent que a: et ,6 s'écrivent sous la forme
a: =
2k + k'
a =
2k' + k
7f.
3
7f et JJ ..
3
Pour assurer les conditions 0 < a: < ,6 < 27f il faut que les entiers k et k'
satisfassent 0 < 2k + k' , k < k' et 2k' + k > 6 ce qui impose pour valeurs de
(k, k') les valeurs suivantes :
(k, k') E {(-1, 3), (0, 1), (0, 2), (1, 2)}.
On en déduit qu'il existe exactement quatre points critiques pour l'application A; ils correspondent aux valeurs de (a:, ,6) obtenues à partir des couples
(k, k') précédents, i.e.
{ (
7f 57f
) (
7f 27f
) (
27f 47f
) (
47f 57f
)}
(a:,,6 ) E 3'3 ' 3'3 ' 3'3 ' 3'3 .
(80) Voir le théorème 9.2 p. 564.