690
Extrema d'une fonction réelle de plusieurs variables
On en déduit que f admet les trois points critiques suivants : (-1 ,0), (0, 0)
et (1, 0). Le point (-1, 0) n'est pas un extrema de f puisque pour 8 E m;
on a f (-l + 8, 0) - f(-l, 0) = -8 3 (40 - 458 + 128 2 ) et cette quantité change de
signe lorsque 8 change de signe. Autrement dit, pour tout 8 > 0 assez petit on a
J(-l + 8, 0) < f(-l, 0) ce qui implique (-1, 0) ne peut pas être un minimum,
et pour tout 8 < 0 assez petit on a f(-1 +8,0) > f(-1,0) ce qui implique
(-1, 0) ne peut pas être un maximum.
1 On sera vigilant au fait que le théorème 10.9 s'applique à des ensembles
ouverts. Une application définie sur un ensemble non ouvert peut admettre
un extrema sans que sa différentielle s'annule. Par exemple, l'application
( x1 , x 2 ) E B(O, 1) .... .. .. xi + x� présente des maxima en tout point du bord du
disque B(O, 1) alors que sa différentielle ne s'annule qu'en (0, 0).
Remarque Comme dans le cas des fonctions de m! dans m!, la méthodologie
pour déterminer les extrema globaux d'une fonction sur un ensemble X quelconque consiste à déterminer les extrema locaux dans l'intérieur Int (X) de
l'ensemble, puis à comparer ces extrema entre eux ainsi qu'aux valeurs prises
par la fonction sur la frontière de X.
o
Exemple Déterminons quels sont les triangles d'aire maximale inscrits dans
(78)
le cercle de centre (0, 0) et de rayon 1. On suppose que l'un des sommets du
triangle est le point C de coordonnées (1, 0), que les deux autres sommets A
et B du triangles sont déterminés par les angles a= (O""C,ôA.) et /3 = (OC,ôB)
(79)
•
avec 0 :::; a :::; /3 :::; 27r, voir la figure 8.
c
Fig. 8 Situation considérée : un triangle inscrit dans un cercle.
<78> L'aire d'un triangle ne change .pas si on fait faire une rotation à ce triangle. On peut
toujours supposer, quitte à effectuer une telle rotation, que l'un des sommets du triangle
a pour coordonnées (1,0).
<79> Quitte à échanger A et B, on peut supposer que 0 �a ::;; /3 � 27T.
Extrema d'une fonction réelle de plusieurs variables
On en déduit que f admet les trois points critiques suivants : (-1 ,0), (0, 0)
et (1, 0). Le point (-1, 0) n'est pas un extrema de f puisque pour 8 E m;
on a f (-l + 8, 0) - f(-l, 0) = -8 3 (40 - 458 + 128 2 ) et cette quantité change de
signe lorsque 8 change de signe. Autrement dit, pour tout 8 > 0 assez petit on a
J(-l + 8, 0) < f(-l, 0) ce qui implique (-1, 0) ne peut pas être un minimum,
et pour tout 8 < 0 assez petit on a f(-1 +8,0) > f(-1,0) ce qui implique
(-1, 0) ne peut pas être un maximum.
1 On sera vigilant au fait que le théorème 10.9 s'applique à des ensembles
ouverts. Une application définie sur un ensemble non ouvert peut admettre
un extrema sans que sa différentielle s'annule. Par exemple, l'application
( x1 , x 2 ) E B(O, 1) .... .. .. xi + x� présente des maxima en tout point du bord du
disque B(O, 1) alors que sa différentielle ne s'annule qu'en (0, 0).
Remarque Comme dans le cas des fonctions de m! dans m!, la méthodologie
pour déterminer les extrema globaux d'une fonction sur un ensemble X quelconque consiste à déterminer les extrema locaux dans l'intérieur Int (X) de
l'ensemble, puis à comparer ces extrema entre eux ainsi qu'aux valeurs prises
par la fonction sur la frontière de X.
o
Exemple Déterminons quels sont les triangles d'aire maximale inscrits dans
(78)
le cercle de centre (0, 0) et de rayon 1. On suppose que l'un des sommets du
triangle est le point C de coordonnées (1, 0), que les deux autres sommets A
et B du triangles sont déterminés par les angles a= (O""C,ôA.) et /3 = (OC,ôB)
(79)
•
avec 0 :::; a :::; /3 :::; 27r, voir la figure 8.
c
Fig. 8 Situation considérée : un triangle inscrit dans un cercle.
<78> L'aire d'un triangle ne change .pas si on fait faire une rotation à ce triangle. On peut
toujours supposer, quitte à effectuer une telle rotation, que l'un des sommets du triangle
a pour coordonnées (1,0).
<79> Quitte à échanger A et B, on peut supposer que 0 �a ::;; /3 � 27T.