Calcul différentiel
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DÉFINITION 10. 19 Soient U un ouvert de !R n et f une application de U
dans IR, différentiable sur U. On appelle point critique de f un élément a E U
tel que df a = O.
Remarque La condition dfa = 0 peut se réinterpréter en termes matriciels
par la relation J J(a) = 0 et en termes vectoriels par V' f (a) = O. Par la suite,
on utilisera alternativement ces trois aspects selon le contexte.
o
THÉORÈME 10.9 Soit f une application définie sur un ouvert U de !R n à
valeurs dans lR qui est différentiable sur U. Si f présente un extremum local
en a E U alors a est un point critique de f.
Démonstration Si f admet un extremum local en a = (a i , ... , a n ) alors la jième fonction partielle

... ,a n ) définie
sur un voisinage Vaj de a j présente un extremum local en a i . Or, pour tout
j E { 1, ... , n} la fonction

est dérivable. Puisqu'elle admet un extremum local en a i on a c 77> cpj (a i ) = O.
Comme partielle i,f (a) est nulle et donc que
J
V'h E !R n
On en conclut que df a = 0, c'est-à-dire que a est un point critique de f. D
1 La condition donnée par ce théorème 10.9 n'est pas suffisante : il existe des
points critiques qui ne sont pas des extrema. D'un point de vue pratique,
après avoir calculé les points critiques, il convient d'établir s'il s'agit ou non
d'un extrema.
Exemple Considérons l'application
f: (xi, x 2 ) E] - 2, 2[x] - 1 , l[f-+ 1 + 30xf + 20xr - 15xf - 12xi + 8x�.
La représentation graphique de cette application est donnée à la figure 7. Les
deux dérivées partielles de f en (xi, x 2 ) valent
(77 )
.
Voir le Cours de première année, p. 736.