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Extrema d'une fonction réelle de plusieurs variables
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Fig. 7 Représentation graphique des extrema d'une application
de IR. 2 dans IR..
Remarque Généralement les deux problèmes mathématiques « montrer qu'il
existe un objet » et «trouver un tel objet » sont assez différents. Le second
problème entraînant le premier (car si on a trouvé un objet c'est bien qu'il
existe ! ), il est en général plus difficile à résoudre. Par exemple, nous avons déjà
à notre disposition un résultat d'existence d'extrema <76 l :
« Toute application continue sur un ensemble fermé et borné est une application
bornée qui atteint ses bornes. »
Ce résultat d'existence d'extrema globaux ne donne toutefois aucune indication
sur la valeur de ces extrema. Dans ce qui suit, nous allons voir que le cadre pour
obtenir des informations sur les valeurs des extrema s'applique à des fonctions
définies sur des ensembles ouverts.
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10.5.1 Conditions nécessaires d'existence d'un extremum local
L'étude des extrema de fonctions de lR dans lR a été effectuée dans le Cours de
première année et on a vu que les extrema d'une application f d'un intervalle
ouvert I c lR à valeurs dans lR qui est dérivable sur I sont atteints en des points
où la dérivée f ' s'annule. Comme pour les fonctions de lR dans IR, nous allons
voir qu'une condition nécessaire pour qu'une application différentiable sur un
ouvert U. de ]R n admette un extrema local en a E U est que sa différentielle
soit nulle en a.
(?G) Voir le théorème 9.2 p. 564