Calcul différentiel
10.5 Extrema d'une fonction réelle de plusieurs variables
687
Dans cette partie on cherche à étudier l'existence d'extrema pour une fonction
de !R n dans IR, puis à calculer ces éventuels extrema.
DÉFINITION 10. 17 (Extrema locaux)
Soit f une application définie sur un sous-ensemble X de !R n à valeurs dans K
J< On dit que f présente un maximum local en a E X s 'il existe une boule
ouverte B(a, r) de centre a et de rayon r E IR'f- tel que
\lx E B(a, r) n X f(x) � f(a) .
J< On dit que ce maximum est strict si l 'inégalité est stricte pour x =f. a.
J< On dit que f présente un mi nimum local en a E X s 'il existe une boule
ouverte B(a, r) de centre a et de rayon r E IR'f- tel que
\lx E B(a, r) n X f(x) ): f(a).
J< On dit que ce minimum est strict si l 'inégalité est stricte pour x =f. a.
J< On appelle extremum local un minimum ou un maximum local.
DÉFINITION 10. 18 (Extrema globaux)
Soit f une application définie sur un sous-ensemble X de !R n à valeurs dans IR.
J< On dit que f présente un maximum global en a E X si
\lx E X f (x) � f (a).
J< On dit que f présente un minimum global en a E X si
\lx E X f(x) ): f (a).
J< On appelle extremum global un minimum ou un maximum global.
Dans le cas de fonctions de plusieurs variables, contrairement au cas de fonctions d'une variable réelle, la visualisation des extrema est délicate. Considérons
l'application f : (x1 , xz) E X i-+ 1 + 30xi + 20xf - 15xt - 12 xÏ + 8x� où X
est l'ensemble ouvert X=] -2 , 2[ x] - 1 , 1[ dont la représentation graphique est
donnée à la figure 7. On observe que sur l'ensemble X, l'application f admet
. deux extrema :un minimum local et un minimum global. Sur l'ensemble fermé
X= [-2 , 2] x [-1, l] l'application f possède, en plus des deux minima sur X,
six maxima et six autre minima (situés sur la frontière X\ X de X).
10.5 Extrema d'une fonction réelle de plusieurs variables
687
Dans cette partie on cherche à étudier l'existence d'extrema pour une fonction
de !R n dans IR, puis à calculer ces éventuels extrema.
DÉFINITION 10. 17 (Extrema locaux)
Soit f une application définie sur un sous-ensemble X de !R n à valeurs dans K
J< On dit que f présente un maximum local en a E X s 'il existe une boule
ouverte B(a, r) de centre a et de rayon r E IR'f- tel que
\lx E B(a, r) n X f(x) � f(a) .
J< On dit que ce maximum est strict si l 'inégalité est stricte pour x =f. a.
J< On dit que f présente un mi nimum local en a E X s 'il existe une boule
ouverte B(a, r) de centre a et de rayon r E IR'f- tel que
\lx E B(a, r) n X f(x) ): f(a).
J< On dit que ce minimum est strict si l 'inégalité est stricte pour x =f. a.
J< On appelle extremum local un minimum ou un maximum local.
DÉFINITION 10. 18 (Extrema globaux)
Soit f une application définie sur un sous-ensemble X de !R n à valeurs dans IR.
J< On dit que f présente un maximum global en a E X si
\lx E X f (x) � f (a).
J< On dit que f présente un minimum global en a E X si
\lx E X f(x) ): f (a).
J< On appelle extremum global un minimum ou un maximum global.
Dans le cas de fonctions de plusieurs variables, contrairement au cas de fonctions d'une variable réelle, la visualisation des extrema est délicate. Considérons
l'application f : (x1 , xz) E X i-+ 1 + 30xi + 20xf - 15xt - 12 xÏ + 8x� où X
est l'ensemble ouvert X=] -2 , 2[ x] - 1 , 1[ dont la représentation graphique est
donnée à la figure 7. On observe que sur l'ensemble X, l'application f admet
. deux extrema :un minimum local et un minimum global. Sur l'ensemble fermé
X= [-2 , 2] x [-1, l] l'application f possède, en plus des deux minima sur X,
six maxima et six autre minima (situés sur la frontière X\ X de X).