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Inégalité des accroissements finis ; formules de Taylor
TAYLOR , Brook (1685, Edmonton - 1731, Londres).
En 1715, Brook Taylor publie son œuvre principale Methodus
incrementorum directa et inversa dans laquelle figure la formule qui porte son nom, sans mention du reste ni étude de
convergence toutefois. Son intérêt pour le problème des cordes
vibrantes l'amène par ailleurs à l'étude des équations différentielles du second ordre et à l'existence de solutions singulières
pour ces équations. En 1717, il publie également un traité sur
les problèmes de la perspective géométrique.
THÉORÈME 10.8 (Formule de Taylor à l'ordre 2)
Soient U un ouvert de !R n et f une application de U dans lR de classe C 2 .
Pour tout a E U et h E U tel que a + h E U, on a
où J f et Hf désignent respectivement la matrice jacobienne et la matrice
hessienne de l'application f.
Exemple Considérons l'application f de ] - 1 , 1[ 2 dans lR définie par
-(1 + X1 )
JR
((1 + x i ) 2 + x�) 3 / 2
E .
L'application f est de cl asse C00 car c'est un quotient de deux appl ications de
cl asse C00 dont la fonction au dénominateur ne s'annule pas sur ] - 1 , 1 [ 2 . La
matrice jacobienne et la matrice hessienne de f au point (0, 0) sont c 7 si
J 1 (0,0) = G) et H 1 (0,0) = (� 6 �).
Puisque f(O, 0) = -1, la formule de Taylor à l'ordre 2 au voisinage de (0, 0)
pour f s'écrit
(
2
)
1
( -6 0 ) ( h i )
2
f(h i , h 2 ) = -1 + O (h1 h 2 ) + 2
(h1 h 2 ) O 3 h 2
+ Oo(llhllIR2)
= - 1 + 2h1 - 3h Î + �h� + O ( o,o ) (h Î + h � ).
<75l Les dérivées partielles de f ont été calculées à la p. 654.