Calcul différentiel
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10.4.2 Formule de Taylor
L'objet de cette partie est de généraliser aux cas de fonctions de plusieurs variables la formule de Taylor vue dans le cas des applications réelles de la variable
réelle <73 l . Rappelons la formule de Taylor- Y oung pour les fonctions réelles de la
variable réelle : étant donné une application f définie sur un intervalle ouvert
I de IR, à valeurs dans lR et de classe Cq, on a pour tout a E I et pour tout
h E lR tel que a+ h E I,
h2
hq
f(a + h) = f(a) + hf'(a) + - J"(a) + · · · + -f ( q ) (a) + oo(h q )
2
q !
La formule de Taylor- Y oung pour les fonctions de !R n dans JRP, que nous admettrons, s'énonce de la manière suivante.
THÉORÈME 10. 7 (Formule de Taylor)
Soient U un ouvert de !R n et f une application de U dans JRP de classe Cq.
Pour tout a EU eth EU tel que a+ h EU, on a
1
f(a + h) = f(a) + dfa(h) + 2 ! d 2 fa(h, h) + · · ·
+ � d q fa(h, . · · , h) + Oo(llhlli,,)
q .
�
q
fois
q
""1 .
q
= f(a) + L., � d1 fa(h, ... , h) + Oo(llhJl lR ,,).
·- 1 ] ·
�
Jj fois
Rappelons <74 l que la différentielle d'ordre j où j E N* d'une fonction de !R n
dans JRP peut être vue comme une application j-linéaire de (IR n ) i dans JRP ce
qui justifie la notation d i f a(h, . . . , h). Les différentielles première et seconde
d'une application f définie sur un ouvert U de !R n à valeurs dans lR s'écrivent
en a E U de façon matricielle respectivement
df a(h) = J 1(a) t h et d 2 f a(h, h) = h H1(a) t h.
On peut ainsi énoncer la formule de Taylor à l'ordre 2 pour les applications à
valeurs réelles sous forme matricielle.
<73> Voir le Cours de première année, p. 778.
(74) Voir la p. 645.