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Inégalité des accroissements finis ; formules de Taylor
En utilisant le fait que la différentielle df a est une application linéaire, on a
l l dfa ( 11 �7R n ) l l RP
= llH 11 R n lldfa(H)ll ev,
et la relation (28) s'écrit
lldfa(H)ll!RP � (k + Ç) llHllRn·
On a ainsi établi que, pour tout Ç E JR+ et pour tout H E IR� on a
lldfa(H)llRP � (k + Ç) IJHllRn· En considérant la limite à droite lorsque Ç tend
vers 0, on obtient :
ce qui implique que :
La proposition est démontrée.
0
Le théorème des accroissements finis permet également d'établir le résultat
suivant.
PROPOSITION 10.19 Soient U un ouvert convexe de !R n et f une application
de U dans JRP de classe C 1 . L 'application f est constante sur U si et seulement
si la différentielle de f est nulle sur U.
Démonstration � Si l'application f est constante sur un ouvert U alors elle
est différentiable sur U et sa différentielle est nulle, voir p. 610.
� Réciproquement, quel que soit (a, b) E U 2 , on a toujours [ a, b] c U car U
est convexe. Si df = 0 alors l'inégalité des accroissements finis implique que :
llJ(a) - f(b)llRP � Q .
On en déduit que pour tout (a, b) E U 2 , on a llf(a) - f(b)llRP = 0 c'est-à-dire
f(a) = f( b) : l'application f est constante sur U.
0
Remarque Dans la proposition 10.19, l'hypothèse de convexité sert à appliquer l'inégalité des accroissements finis. Le résultat « f est constante si et seulement si df est nulle » est vrai plus généralement sur tout ouvert U connexe
en> .
Notons qu'un ensemble convexe est toujours connexe.
<>
<72> vo ir la définition 7.12 p. 384.