Calcul différentiel
681
Démonstration � Supposons que pour tout x EU on ait IJldfxlll.c(JRn , JRp) � k
et montrons que l'appli cation f est k-lipschitzienne, c'est-à-dire montrons que :
V(a, b) E U 2 llJ(b) - f(a)llJRP � kllb- allJRn.
Considérons deux él éments a et b de l'ouvert U. Puisque U est un ensemble
convexe, il s'ensuit que le segment [ a, b] est inclus dans U. En considérant
l'inégalité des ac croissements finis avec K = [ a, b] qui est un sous-ensemble
fermé et borné de U, on a
IJJ(b) - f(a)llIRP � MI
xEI<
on a donc MI< � k ce qui montre que l'application f est k- lipschitzienne.
I'.::: Supposons que l'application f soit k-lipschitzienne et montrons que pour tout
a E U on a l l l dfalll q Rn, JR v ) � k. Considérons un élément a de U; l'application
f étant k-lipschitzienne, pour h E !R n dans un voisinage de 0, on a
IJJ (a+ h) - f (a)IJJRv � k llhllJRn.
D'autre part, puisque l'application f est différentiable, on a aussi
f (a+ h) = f(a) + dfa(h) + IJhlJJRnc(h) avec lim c(h) = O.
h->O
On en déduit que
dfa(h) = f (a+ h) - f (a) - I JhlJJRn c(h),
puis par l'inégalité triangulaire, que
En combinant les équations (25) et (26), on obtient
.
(71)
Comme hm c(h) = 0, on a
h->O
(25)
On en déduit que pour tout Ç E IR'f-, il existe 7J E IR'f- tel que si llhllJRn � 7J alors
(27)
Pour H E IR�, l'él ément h = I J
�7JR n
vérifie llhllJRn = 7J et d'après la relation (27)
on a
(28)
(Tl) Voir la définition 9.1 p. 536.
681
Démonstration � Supposons que pour tout x EU on ait IJldfxlll.c(JRn , JRp) � k
et montrons que l'appli cation f est k-lipschitzienne, c'est-à-dire montrons que :
V(a, b) E U 2 llJ(b) - f(a)llJRP � kllb- allJRn.
Considérons deux él éments a et b de l'ouvert U. Puisque U est un ensemble
convexe, il s'ensuit que le segment [ a, b] est inclus dans U. En considérant
l'inégalité des ac croissements finis avec K = [ a, b] qui est un sous-ensemble
fermé et borné de U, on a
IJJ(b) - f(a)llIRP � MI
xEI<
on a donc MI< � k ce qui montre que l'application f est k- lipschitzienne.
I'.::: Supposons que l'application f soit k-lipschitzienne et montrons que pour tout
a E U on a l l l dfalll q Rn, JR v ) � k. Considérons un élément a de U; l'application
f étant k-lipschitzienne, pour h E !R n dans un voisinage de 0, on a
IJJ (a+ h) - f (a)IJJRv � k llhllJRn.
D'autre part, puisque l'application f est différentiable, on a aussi
f (a+ h) = f(a) + dfa(h) + IJhlJJRnc(h) avec lim c(h) = O.
h->O
On en déduit que
dfa(h) = f (a+ h) - f (a) - I JhlJJRn c(h),
puis par l'inégalité triangulaire, que
En combinant les équations (25) et (26), on obtient
.
(71)
Comme hm c(h) = 0, on a
h->O
(25)
On en déduit que pour tout Ç E IR'f-, il existe 7J E IR'f- tel que si llhllJRn � 7J alors
(27)
Pour H E IR�, l'él ément h = I J
�7JR n
vérifie llhllJRn = 7J et d'après la relation (27)
on a
(28)
(Tl) Voir la définition 9.1 p. 536.