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Inégalité des accroissements finis ; formules de Taylor
Remarques
1. Dans le théorème 10.6, l'hypothèse « f de classe c i
» est une condition
suffisante. Le théorème est encore vrai si f est seulement différentiable, mais
dans ce cas rien n'assure que !YIK soit fini (car l'application df n'est plus
continue).
2. Contr airement au cas des fonctions d'une variable réelle, il n'y a en général
pas égalité entre llf( b) - f(a)l!ntP et .MK!la - b llntn . Par ex emple pour l'application
f: t E � f--- -+ ( cos(t), sin(t), t) E � 3
il n'existe aucun réel c E [ O, 27r]
tel que f(27r) - f(O) = 27rf'(c) car
f(27r) - f(O) = (0, 0, 27r) alors que
f'(c) = (- sin(c),cos(c), 1). Géométriquement, cela se traduit par le fait que
le vecteur tangent à la courbe paramétrée par f n'est jamais colinéaire au vecteur (0, 0, 27f).
<>
X
, f'(c)
L'inégalité des accroissements finis prend la forme suivante lorsque l'ensemble J(
est convexe.
COROLLAIRE 10.2 Soient U un ouvert de � n , f une application de U dans �1
de classe c i et J( un sous-ensemble fermé, borné et convexe de U. Pour tout
(a, b) E K 2 on a
llf(b) - f(a)llRP :::; J\!h
xEK
Le résultat suivant qui découle du théorème des accroissements finis permet de
caractériser les applications lipschitziennes sur un ensemble convexe U parmi
les applications de classe c i sur u.
PROPOSITION 10.18 Soient U un ouvert convexe de � n , f une application
de U dans �P de classe c i et k E � + . L 'application f est k-lipschitzienne < 1 0 > si
et seulement si
't/x E U Ill df xlll.c(nt", lfV) :::; k.
< 7 0 > La définition d'application k-lipschitzienne est donnée p. 558.
Inégalité des accroissements finis ; formules de Taylor
Remarques
1. Dans le théorème 10.6, l'hypothèse « f de classe c i
» est une condition
suffisante. Le théorème est encore vrai si f est seulement différentiable, mais
dans ce cas rien n'assure que !YIK soit fini (car l'application df n'est plus
continue).
2. Contr airement au cas des fonctions d'une variable réelle, il n'y a en général
pas égalité entre llf( b) - f(a)l!ntP et .MK!la - b llntn . Par ex emple pour l'application
f: t E � f--- -+ ( cos(t), sin(t), t) E � 3
il n'existe aucun réel c E [ O, 27r]
tel que f(27r) - f(O) = 27rf'(c) car
f(27r) - f(O) = (0, 0, 27r) alors que
f'(c) = (- sin(c),cos(c), 1). Géométriquement, cela se traduit par le fait que
le vecteur tangent à la courbe paramétrée par f n'est jamais colinéaire au vecteur (0, 0, 27f).
<>
X
, f'(c)
L'inégalité des accroissements finis prend la forme suivante lorsque l'ensemble J(
est convexe.
COROLLAIRE 10.2 Soient U un ouvert de � n , f une application de U dans �1
de classe c i et J( un sous-ensemble fermé, borné et convexe de U. Pour tout
(a, b) E K 2 on a
llf(b) - f(a)llRP :::; J\!h
xEK
Le résultat suivant qui découle du théorème des accroissements finis permet de
caractériser les applications lipschitziennes sur un ensemble convexe U parmi
les applications de classe c i sur u.
PROPOSITION 10.18 Soient U un ouvert convexe de � n , f une application
de U dans �P de classe c i et k E � + . L 'application f est k-lipschitzienne < 1 0 > si
et seulement si
't/x E U Ill df xlll.c(nt", lfV) :::; k.
< 7 0 > La définition d'application k-lipschitzienne est donnée p. 558.