Calcul différentiel
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2. L'ensemble {(x i , x 2 ) E IR 2 ; xf - x� < 1} n'est pas un ensemble convexe. En
effet, les deux vecteurs a= (2, 2) et b = (2, -2) appartiennent à cet ensemble
alors que le milieu du segment [a, b], c'est-à-dire le point c =ta+ (1 - t)b avec
t = 1/2 n'appartient pas à cet ensemble.
THÉORÈME 10.6 (Inégalité des accroissements finis)
Soient f une application définie sur un ouvert U de !R n à valeurs dans JRP de
classe c i et K un sous-ensemble fermé et borné de U. Pour tout (a, b) E K 2
on a
[a, b] C K ==} llf( b) - f(a) llnv � MI
où lvh = sup llldfxlll. ccR n, JRp) ·
xEK
Démonstration Tout d'abord, on peut noter que f est de cl asse c i donc df
est continue . ce qui justifie que lYh< = sup xEK llldfxlll.c(R", JRP) existe (G s ) .
Soient a et b deux éléments de K tels que
[a, b] C K et soit cp l'application définie par <69>
cp : [0, l)--> JRP
t � f(a+t(b - a))
L'application cp est de cl asse c i (en tant que composée d'applications de classe C 1 ,
voir la proposition 10.6) et on a
Vi E {1, ... ,n}
cpi(l) - cpi(O) =
1 1 cp�(t) dt.
Puisque cp(l) = f(b) , que cp(O) = f(a) et que pour tout t E [O, 1) on a
cp'(t) = df � + t (b-a) (b - a) , on en déduit que
llf( b) - f(a)lllRP = 1 1 1 1 dfa+ t (b-a) (b - a) dt l l !R P
� lo
i
lldfa+ t (b-a) (b - a) l!IRP dt
� ( 1
i
llldfa+ t (b-a) 111 .c(iR", lRP) dt ) ll(b - a) llJRn
� MKll(b- a) l!R"·
L'inégalité des accroissements finis est démontrée.
0
(G s ) La borne supérieure d'une fonction continue sur un ensemble fermé et borné existe, voir
le théorème 9.2 p. 564.
(G 9 J Cette application est bien définie sur [O, 1) puisque a+ t(b - a) E [a, b] pour t E [O, 1) et
par conséquent a+ t(b - a) E K.