678
Inégalité des accroissements finis ; formules de Taylor
(2, 2)
0
(2, -2
Fig. 5 Ensemble non convexe et ensemble convexe.
où c est un réel compris strictement entre a et b. Pour les fonctions de la variabl e complexe, un résultat analogue <66> a été démontré où l'égalité dans la
relation (24) « devient » une inégalité. Pour des fonctions de ]R n dans JRP, le
théorème des accroissements finis s'exprime également sous forme d'une inégalité. Nous al lons, dans un premier temps, définir la notion de segment [a, b]
dans JR n .
DÉFINITION 10.16 Soient a et b sont deux éléments de l'espace vectoriel 1Rn.
On appelle segment d'extrémités a et b l 'ensemble noté [a, b] défini par
[a,b]={cElRn; :l tE[0,1] c=ta+(l -t)b}.
Un sous-ensemble X de ]R n est dit convexe si
'v'(a, b) E X 2 [a, b] C X.
Exemples
l. La boule unité de l'espace euclidien JR 2 , c'est-à-dire l'ensemble défini par
{(x1 ,x 2 ) E JR. 2 ; xi + x� < 1} est un sous-ensemble convexe de JR 2 . Plus
généralement, toute boule d'un espace vectoriel normé (E, Il · Il ) est convexe.
(67)
En effet, notons B = {x E E ; llxll < 1} la boule ouverte de centre ÜE et
de rayon 1 de l'espace vectoriel (E, Il · Il). Si a et b sont deux él éments de B
al ors pour tout t E [O, 1] on a
li ta+ (1 - t)bll :( tllall + (1 - t) llbll < t + (1 - t) = 1.
Ainsi, le segment [a, b] est inclus dans la boule B. Ceci étant vrai pour tout
couple (a, b) E B 2 , on en conclut que la boule B est convexe.
<66 ) Voir le théorème 4.2 p. 201.
<
01
> Un raisonnement semblable est possible avec une boule fermée.
Inégalité des accroissements finis ; formules de Taylor
(2, 2)
0
(2, -2
Fig. 5 Ensemble non convexe et ensemble convexe.
où c est un réel compris strictement entre a et b. Pour les fonctions de la variabl e complexe, un résultat analogue <66> a été démontré où l'égalité dans la
relation (24) « devient » une inégalité. Pour des fonctions de ]R n dans JRP, le
théorème des accroissements finis s'exprime également sous forme d'une inégalité. Nous al lons, dans un premier temps, définir la notion de segment [a, b]
dans JR n .
DÉFINITION 10.16 Soient a et b sont deux éléments de l'espace vectoriel 1Rn.
On appelle segment d'extrémités a et b l 'ensemble noté [a, b] défini par
[a,b]={cElRn; :l tE[0,1] c=ta+(l -t)b}.
Un sous-ensemble X de ]R n est dit convexe si
'v'(a, b) E X 2 [a, b] C X.
Exemples
l. La boule unité de l'espace euclidien JR 2 , c'est-à-dire l'ensemble défini par
{(x1 ,x 2 ) E JR. 2 ; xi + x� < 1} est un sous-ensemble convexe de JR 2 . Plus
généralement, toute boule d'un espace vectoriel normé (E, Il · Il ) est convexe.
(67)
En effet, notons B = {x E E ; llxll < 1} la boule ouverte de centre ÜE et
de rayon 1 de l'espace vectoriel (E, Il · Il). Si a et b sont deux él éments de B
al ors pour tout t E [O, 1] on a
li ta+ (1 - t)bll :( tllall + (1 - t) llbll < t + (1 - t) = 1.
Ainsi, le segment [a, b] est inclus dans la boule B. Ceci étant vrai pour tout
couple (a, b) E B 2 , on en conclut que la boule B est convexe.
<66 ) Voir le théorème 4.2 p. 201.
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01
> Un raisonnement semblable est possible avec une boule fermée.